[Risolto] Volume tetraedro

Ho trovato due formule per il volume del tetraedro:

1/6 abc   e rad(2)/12 L^3

Perché sono diversi ?

Cosa sono a b c ed L ?

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1° formula:

volume $V=\dfrac{1}{6}abc $ dove $a=$ spigolo; $b=$ altezza; $ c=$ apotema della faccia, in pratica l'altezza del triangolo equilatero;

per esempio, con i numeri:

spigolo $a= 6\,cm;$

altezza $b= \dfrac{a\sqrt6}{3} = \dfrac{6\sqrt6}{3}\approx{4,899}\,cm;$

apotema della faccia $c= a×\dfrac{\sqrt3}{2} =  6×\dfrac{\sqrt3}{2} \approx{5,196};$

volume $V= \dfrac{1}{6}×6×4,899×5,196 \approx{25,455}\,cm^3.$

per verifica con la seconda formula dove è sufficiente conoscere lo spigolo o lato, per esempio, $(l=6\,cm)$:

volume $V=  \dfrac{\sqrt2}{12}×l^3 =  \dfrac{\sqrt2}{12}×6^3 = 0,11785×216 \approx{25,455}\,cm^3.$

 Le due formule sono differenti per via di un diverso approccio ma, come vedi, portano con buona approssimazione allo stesso risultato.

 Nella seconda formula $\dfrac{\sqrt2}{12}$ porta al numero fisso $n°f= 0,11785$ che trovo in un vecchio libro d'officina ma tu usa la formula come l'hai indicata per ottenere il risultato preciso. Saluti.

La prima me la devo guardare perché non la conosco.

Mi sembra che se si fissa un vertice e a, b, c sono i vettori posizione degli altri tre

rispetto a quello individuato, risulti V = 1/6 a x b * c.

E, anche se non ho provato a dimostrarlo, dovrebbe valere anche se il tetraedro non é

regolare. Dovrebbe essere così

L'area di base é 1/2 |a x b|. Allora V = 1/3 Sb h = 1/3 * 1/2 |a x b| c cos y =

= 1/6 a x b * c.

La seconda, con L spigolo del tetraedro, é quella che si otterebbe considerandolo come una

piramide retta con base un triangolo equilatero e altezza tale da rendere anche lo spigolo

laterale pari a L. A richiesta posso dimostrarlo.

L = lato;

a = spigolo = L;

c = apotema = radicequadrata[L^2 - (L/2)^2] = radice[(4L^2  - L^2)/4] ;

apotema = L/2 * radice(3)

b = altezza h che cade sul triangolo di base nel punto O; OH =  L * radice(3) / 6 = r, raggio del cerchio inscritto;

 l'altezza cade nel punto O; r = L * radice(3) / 6.

h = radicequadrata[(apotema)^2 - (r)^2] = L * radice(2/3);

Area di base = L * apotema / 2 = [L * L/2 * radice(3)] / 2 = L^2 * radice(3) / 4;

Volume = Area base * h / 3; (volume piramide);

V = [L^2 * radice(3) / 4] * [L * radice(2/3)] / 3

V = L^3 * radice(3 * 2/3) / 12 = L^3 * radice(2) / 12.

@angie  ciao.

tetraedro regolare 4 facce uguali (triangoli equilateri)

apotema di una faccia = a = L√3 /2

doppia area della base 2A = L*a = L^2*√3 /2

perimetro 2p = 3L

raggio inscritto r = 2A/2p = L^2*√3/6L = L√3 /6

altezza h = √a^2-r^2 = √L^2*3/4-L^2*3/36 = L√(3/4-1/12) = L*√2/√3

volume V = A*h/3 = L^2*√3 /4 * L*√2/(3√3) = L^3√2 /12

oppure

V = L*a/2*h/3 = L*a*h/6