Sia $R$ la regione piana limitata compresa tra il grafico della funzione $y=\sqrt{16 x+25}$, l'asse $x \mathrm{e}$ l'asse $y$. Determina il rapporto tra il volume del solido generato da una rotazione di $120^{\circ}$ di $R$ attorno all'asse $x$ e il volume del solido generato dalla rotazione completa di $R$ attorno all'asse $y$.
$[1]$
A cosa serve sapere l'angolo di rotazione?
90
punti
Livello 1
{y = √(16·x + 25)
{x = 0
[x = 0 ∧ y = 5]---> A[0, 5]
{y = √(16·x + 25)
{y = 0
[x = - 25/16 ∧ y = 0]----> B[- 25/16, 0]
Rotazione di 120° rispetto asse x:
∫(2·pi/3·√(16·x + 25))dx= pi·(16·x + 25)^(3/2)/36
valutato da x=-25/16 ad x=0
pi·(16·0 + 25)^(3/2)/36 - pi·(16·(- 25/16) + 25)^(3/2)/36 = 125·pi/36
Rotazione di 360° intorno assey:
y = √(16·x + 25)-----> x = IF(y > 0, (y^2 - 25)/16)
∫(2·pi·(y^2 - 25)/16)dy = pi·y^3/24 - 25·pi·y/8
quindi:
pi·0^3/24 - 25·pi·0/8 - (pi·5^3/24 - 25·pi·5/8) = 125·pi/12
Il rapporto viene 1/3 e non 1 come il risultato atteso
(vedi se ho sbagliato in qualcosa..)
90141
punti
Genius II
