Volume liquido in una cisterna

@sanluigi  spiega meglio.

Non capisco che cosa è l'altezza della cisterna: L = 115 cm? E' il diametro del cerchio di base? Oppure è la lunghezza della cisterna?

Volume = 1050 litri = 1050 dm^3

area cerchio = Volume /(lunghezza L)?

@sanluigi

Ciao e benvenuto.

La formula che ci dà il volume di liquido contenuto in una cisterna è:

v = (pi·r^2/2 + r^2·ASIN((h - r)/r) + (h - r)·√(2·h·r - h^2))·L

A cisterna piena:

V=1050 dm^3=pi*r^2*L

r=√(1050/(pi·11.5)) = 5.391 dm

Quindi inserendo i valori numerici nella formula, si ottiene:

v = (pi·5.391^2/2 + 5.391^2·ASIN((6.1 - 5.391)/5.391) +

+(6.1 - 5.391)·√(2·6.1·5.391 - 6.1^2))·11.5 =

 = 612.653 dm^3 (valore numerico uguale per i litri)

(r-s) = 3,5 cm

g = 57,393 cm (applicando Pitagora ad r e (r-s)

α/2 = arcsin g/r = 86,510° ; angolo complementare 3,49°

area AOB = g*(r-s) = 200,876 cm^2

area bagnata Ab = 3,1416*57,5^2*(180+3,49*2)/360+200,876 = 5.595,72 cm^2

volume liquido Vl = 1050*Ab/A = 1050*5.595,72/(3,1416*57,5^2) = 565,664 litri

la tabella sottostante mostra come varia il volume in % a fronte della variazione di livello H in un serbatoio cilindrico di diametro unitario posato orizzontalmente

SE HAI BISOGNO DI UNA RISPOSTA UNIVOCA DEVI PUBBLICARE UN PROBLEMA "BEN POSTO" come si spera che sia il testo del problema originale preso dal libro.
DEVI COPIARE L'ESERCIZIO CARATTERE PER CARATTERE.
Se invece tu ne pubblichi la tua interpretazione riassunta male, allora devi renderti conto che è l'interpretazione di una persona che non soltanto non è riuscita a risolverlo, ma nemmeno a capire quali fossero le informazioni indispensabili alla risoluzione!
SONO OBBLIGATO A FORMULARE UN'INTERPRETAZIONE ARBITRARIA, e mi baso sull'articolo al link http://mathworld.wolfram.com/Quarter-TankProblem.html del quale userò i simboli.
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Unità di misura: lunghezza, dm; superficie, dm^2; volume, dm^3 (litro).
* π ~= 355/113
Altezza cisterna
* L = 115 cm = 23/2 dm
Livello liquido presente (freccia del segmento circolare)
* h = 61 cm = 61/10 dm
Capacità C della cisterna da piena 1050 litri
* C = h*π*R^2 ≡ 1050 = (23/2)*π*R^2 ≡
≡ R = 10*√(21/(23*π)) ~= 124/23 ~= 5.39 dm
Area del segmento circolare
* A(h) = (R^2)*arccos((R - h)/R) - (R - h)*√(2*R*h - h^2)
Volume del liquido presente
* V(h) = L*A(h) = L*((R^2)*arccos((R - h)/R) - (R - h)*√(2*R*h - h^2))
CON I DATI DEL CASO IN ESAME
* V(61/10) = (23/2)*(((10*√(21/(23*π)))^2)*arccos((10*√(21/(23*π)) - 61/10)/(10*√(21/(23*π)))) - (10*√(21/(23*π)) - 61/10)*√(2*(10*√(21/(23*π)))*61/10 - (61/10)^2)) ~=
~= 612.655 dm^3 (litri)

A me é risultato

Vp = 565.660 litri circa.

E' possibile ? Se sì, scrivo il procedimento seguito.

Ho lo stesso dubbio di @mg : 115 cm sono L oppure 2 R ? ...

Scrivo entrambe le interpretazioni.

L'area della sezione piena é Sc - (Ss - St)

area cerchio - area segmento circolare.

A sua volta area segmento circolare = area settore circolare (Ss) - area triangolo (St).

Se diciamo h l'altezza del segmento circolare superiore, risulta

R - h = R cos f

cos f = 1 - h/R

Sp = pi R^2 - (alfa/2 R^2 - 1/2 R^2 sin (2f) ) =

= R^2 [ pi - arccos* (1 - h/R) + 1/2 * 2 sin f cos f ] =

= R^2 [ pi - arccos* (b) + b * sqrt (1 - b^2) ] con b = 1 - h/R

[ Ss/(pi R^2) = alfa /(2pi) =>  Ss = 1/2 alfa  R^2

St = 1/2 * L1 * L2 sin (L1L2^) = 1/2 R*R sin (2f) ]

Vp = Sp * L     con Vc = pi R^2 L =>   L = Vc/(pi R^2)

e infine

Vp = Vc/(pi R^2) * R^2 [ pi - arccos* (b) + b * sqrt (1 - b^2) ] =

= Vc [ 1 - 1/pi * arccos* b + b/pi * sqrt (1 - b^2) ]     con b = 1 - h/R

a) Ora, se l'altezza della cisterna é 2 R allora

R = 57.5 cm = 5.75 dm

h = (115 - 61) cm = 54 cm = 5.4 dm

b = 1 - 5.4/5.75 = 0.060870

Vp = 1050 * (1 - 1/pi * arccos* b + b/pi *sqrt (1 - b^2)) dm^3 =

= 565.660 dm^3;

b) Se, invece, l'altezza é L = 115 cm = 11.5 dm ,

allora R = sqrt (Vc/(pi*L)) = sqrt (1050/(11.5*pi)) = 5.391 dm.

In questo caso risulta progressivamente

h = 2R - 6.1 dm = 4.682 dm

b = 1 - h/R = 0.1315

e infine

Vp = 1050 * (1 - 1/pi * arccos* b + b/pi *sqrt (1 - b^2)) dm^3 =

= 612.660 dm^3 =>  612.7 litri circa