[Risolto] Volume di un cilindroide

Cominciamo con lo studio del dominio di integrazione, che è la parte regione del primo quadrante compresa tra una circonferenza ci centro l'origine e raggio unitario e un'ellisse di centro l'origine e assi $a=2$ e $b=1$ 

Il dominio è normale rispetto all'asse y. Abbiamo infatti che le y variano nell'intervallo:

$ 0 \leq y \leq 1$

mentre le ascisse sono comprese tra l'arco di circonferenza $x = \sqrt{1-y^2}$ e l'arco di ellisse $x=\sqrt{4-4y^2}$, che ho ricavato semplicemente esplicitando la x, per cui:

$ \sqrt{1-y^2} \leq x \leq \sqrt{4-4y^2}$

D'altra parte la z è compresa tra:

$ 0 \leq z \leq (x^2+y^2)y$

L'integrale del cilindroide sarà pertanto:

$\iiint_C dxdydz = \int_0^1dy\int_\sqrt{1-y^2}^{\sqrt{4-4y^2}}dx\int_0^{(x^2+y^2)y}dz$

Integriamo rispetto a z:

$\int_0^1dy\int_\sqrt{1-y^2}^{\sqrt{4-4y^2}}(x^2+y^2)y dx$

otteniamo dunque

$\int_0^1dy\int_\sqrt{1-y^2}^{\sqrt{4-4y^2}}(x^2y+y^3) dx$

integriamo in x:

$\int_0^1 [\frac{x^3y}{3}+xy^3]_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-4y^2}}dy$

Per comodità riscrivo come:

$\int_0^1 [\frac{x^3y}{3}+xy^3]_{\sqrt{1-y^2}}^{2\sqrt{1-y^2}}dy$

Sostituendo e facendo i calcoli otteniamo:

$\int_0^1 -\frac{1}{3}y \sqrt{1-y^2} (4y^2-7) dy$

Qui ci vogliono parecchi conti ... puoi procedere sostituendo $y = sint$ in modo che la radice diventa $\sqrt{1-y^2} = cost$... 

ad ogni modo Wolfram ci dice che il risultato è 3/5 🙂

Noemi