[Risolto] Volume di oro e argenti in un lingotto

@kety01

Buongiorno.

Diciamo: x ed y i volumi rispettivi dell'oro e dell'argento.

Quindi x+y =V è il volume del lingotto. (in m^3)

Immerso in acqua sarà soggetto alla spinta di Archimede:

S=V*dH2O*g=(x+y)*1000*9.81 avendo indicato con dH2O la densità dell'acqua, g=9.81m/s^2

oltre al peso del lingotto: 0.802·9.81 = 7.86762 N

Quindi impostiamo un sistema:

{peso lingotto fuori dall'acqua

{peso lingotto dentro l'acqua

Quindi:

{x*dAu*g+y*dAg*g=7.86762 (calcolato sopra, dAu e dAg sono le densità dei metalli)

{7.86762-(x+y)*1000*9.81=7.19 (dato del problema)

Inseriamo i numeri:

{x*1.93*10^4*9.81+y*1.05*10^4*9.81=7.86762

{x + y = 6.907441386·10^(-5)

Quindi:

{189333·x + 103005·y = 7.86762

{x + y = 6.907441386·10^(-5)

La soluzione del sistema fornisce:

[x = 8.718028917·10^(-6) ∧ y = 6.035638494·10^(-5)] in m^3

Quindi, essendo 1 m^3=10^6 cm^3:

Volume oro=8.718 cm^3 ; Volume argento=60,356 cm^3

Se $x$ e $y$ sono i volumi di oro e argento, si imposta un sistema di equazioni nelle incognite $x$ e $y$ :

$$\left\{\begin{array}{l}F_{p}=g\left(x d_{\text {oro }}+y d_{\text {argento }}\right) \\ F_{A}=d_{\text {acqua }} g(x+y)\end{array}\right.$$

Considerando che $F_{P}=m g=0,802 \mathrm{~kg} \times 9,8 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}=7,86 \mathrm{~N}$ e

$F_{A}=F_{P}-F_{R}=(7,86-7,19) \mathrm{N}=0,67 \mathrm{~N}$, risolvendo il sistema si ricava:

$$y=\frac{\left(\frac{F_{p}}{g d_{\text {oro }}}-\frac{F_{A}}{g d_{\text {acqua }}}\right)}{\left(\frac{d_{\text {argento }}}{d_{\text {oro }}-1}\right)}=\frac{\left(\frac{7,86 \mathrm{~N}}{9,8 \mathrm{~N} / \mathrm{kg} \times 1,93 \times 10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}}-\frac{0,67 \mathrm{~N}}{9,8 \mathrm{~N} / \mathrm{kg} \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}}\right)}{\left(\frac{1,05 \times 10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}}{1,93 \times 10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}}-1\right)}=59 \mathrm{~cm^3}$$

$$x=\frac{F_{A}}{d_{\text {acqua }} g}-y=\frac{0,67 \mathrm{~N}}{10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \times 9,8 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}}-\left(5,9 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{3}\right)=9,6 \mathrm{~cm}^{3}$$

Un lingotto è composto da una lega di oro (dau = 19,3kg/dm^3) e argento (dag = 10,5 kg/dm3) e ha la massa di 0,802 kg. Se si immerge il lingotto in acqua distillata, appeso a un dinamometro, il suo peso risulta 7,19 N.

Quali volumi di oro e di argento sono contenuti nel lingotto?

peso in aria Fps = m*g = 0,802*9,806 = 7,864 N

peso in acqua Fpa = 7,19 N 

spinta al galleggiamento Fa = Fps-Fpa = 7,864-7,19 = 0,674 N

volume V = Fa/g/dac = 0,674 N / 9,806 N/kg / 1 kg/dm^3 = 0,0688 dm^3 =  68,8 cm^3

10,5*Vag+19,3(68,8-Vag) = 802 grammi

10,5*Vag-19,3 Vag = 802-1328

526 = Vag(19,3-10,5) 

Vag = 526/8,80 = 59,8 cm^3 (corrispondente a 59,8*10,5 = 628 grammi = 78,3%)

Vau = V-Vag = 68,8-59,8 = 9,0 cm^3 (corrispondente a 9*19,3 = 174 grammi = 21,7%)

F peso = m * g = 0,802 * 9,8 = 7,86 N; (peso in aria).

F peso in acqua = 7,19 N;

F Archimede = 7,86 - 7,19 = 0,67 N; (forza di spinta verso l'alto che fa diminuire il peso).

F Archimede = (d acqua) * g * (Volume immerso);

usiamo le densità in kg/dm^3, è più semplice fare i calcoli.

d acqua = 1 kg / dm^3.

Volume = F Archimede/ (d * g) = 0,67 / (1 * 9,8) = 0,0684 dm^3. (Volume lingotto).

V = 68,4 cm^3. (Volume in cm^3)

d oro = 19,3 kg/dm^3 = 19,3 g/cm^3;

d argento = 10,5 kg/dm^3 = 10,5 g/cm^3.

(m argento) + (m oro) = m totale;

m argento = (V Ag) * (d Ag). 

m oro = (V Au) * (d Au);

m totale = 802 grammi.

V Ag + V Au = 68,4 cm^3.

10,5 * (V Ag) + 19,3 * (V Au) = 802;

10,5 * (68,4  - V Au) + 19,3 * (V Au) = 802;

718,2 - 10,5 * (V Au) + 19,3 * (V Au) = 802;

8,8 * (V Au) = 802 - 718,2;

V Au = 83,8 ( 8,8) = 9,52 cm^3; (Volume oro).

V Ag = 68,4 - 9,52 = 58,9 cm^3; (Volume argento).

Noto problema della corona di Gerone, risolto da Archimede.

La corona di Gerone

La storia completa è questa.  Gerone II, tiranno di Siracusa, fece costruire da un valente orafo una corona d’oro, a forma di rami intrecciati, del tipo di quella riprodotta a lato, per porla a decoro di una statua rappresentante un dio o una dea. Tuttavia quando ricevette la bellissima corona ebbe il sospetto che l’orafo potesse aver sostituito, all’interno della corona, l’oro con l’argento. Per questo il Tiranno chiese ad Archimede di determinare se la corona fosse d’oro massiccio oppure se contenesse all’interno il meno pregiato argento. Ma poiché la corona, di pregevole fattura, doveva ornare il capo di una divinità, era essa stessa un oggetto sacro. Quindi il Tiranno pose ad Archimede la condizione che la corona doveva restare integra.

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