Una circonferenza di centro (R;0) e raggio r, con R>r, genera in rotazione intorno all'asse y un solido chiamato toro.
a. Individua la natura della sezione del toro ottenuta con un piano perpendicolare all'asse y passante per il punto (0;y)
b. Utilizzando il metodo delle sezioni, determina il volume del toro.
2
punti
Livello 0
Prima parte.
Ponendo un piano ad altezza y, con - r <= y <= r, si determina una corda nella circonferenza
la cui lunghezza, per il Teorema di Pitagora é il doppio di sqrt(r^2 - y^2).
La sezione a sua volta sarà una corona circolare con Ri = R - sqrt(r^2 - y^2) e Re = R + sqrt(r^2 - y^2)
per cui l'area risulterà pi (Re^2 - Ri^2) = pi (Re + Ri) (Re - Ri) = pi * 2R * 2 sqrt(r^2 - y^2) =
= 4 pi R sqrt (r^2 - y^2)
Seconda parte.
V = S_[-r,r] 4 pi R sqrt(r^2 - y^2) dy = 8 pi R S_[0,r] sqrt(r^2 - y^2) dy
y = r sin t
S sqrt (r^2 - r^2 sin^2(t)) r cos t dt =
= S r cos t * r cos t dt =
= r^2 S (1 + cos 2t )/2 dt =
= r^2/2 [ t + sin(2t)/2 ] =
= r^2/2 [ arcsin* y/r + sin t cos t ] =
= r^2/2 [ arcsin* y/r + y/r sqrt (1 - y^2/r^2) ]
Terza parte
per y = r r^2/2 [ arcsin* 1 + 1 * sqrt(1 - 1) ] = r^2/2 * pi/2
per y = 0 r^2/2 [ arcsin* 0 + 0 * sqrt(1 - 0) ] = 0
V = 8 pi R * pi r^2/4 = 2 pi^2 R r^2.
45512
punti
Livello 7
se è un toro da corrida
circa 0,6 m^3
se è un toro "chianino"
circa 1,2 m^3
109723
punti
Genius II
