[Risolto] Vi prego ho bisogno di aiutooo. 6) Scrivi la risposta alla domanda. È data la circonferenza γ di equazione x2+ y2+2x−4 y−5=0. Scrivi l’equazione della circonferenza γ’ simmetrica di γ rispetto all’origine degli assi cartesiani e calcola le coordina...

@asia300804

Ciao. 

Rispondo a questa tua domanda.

x^2 + y^2 + 2·x - 4·y - 5 = 0

dai coefficienti a, b, c riconosco le caratteristiche della circonferenza:

C(-1, 2)

raggio: r = √(α^2 + β^2 - c)

r = √((-1)^2 + 2^2 - (-5))--------> r = √10

La retta passante per i centri delle due circonferenze è:

y = - 2·x

La retta ad essa perpendicolare passante per il centro degli assi cartesiani è:

y = 1/2·x

Le intersezioni di questa retta con la circonferenza data sono anche intersezioni xcon la circonferenza da trovare:

{x^2 + y^2 + 2·x - 4·y - 5 = 0

{y = 1/2·x

Risolvo ed ottengo:

[x = 2 ∧ y = 1, x = -2 ∧ y = -1]

A(2,1) e B(-2,1)

La circonferenza da trovare ha centro simmetrico rispetto a C(-1,2) quindi C'(1,-2)

e raggio stesso raggio della circonferenza data:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 10   (equazione cartesiana)

x^2 + y^2 - 2·x + 4·y - 5 = 0   (equazione implicita)

Una generica combinazione delle due circonferenze ad esempio:

m·(x^2 + y^2 + 2·x - 4·y - 5) + n·(x^2 + y^2 - 2·x + 4·y - 5) = 0

fornisce la prima circonferenza con n=0 ed m ≠ 0

la seconda con m=0 ed n ≠ 0

Se pregato di prendere visione del regolamento

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Cara Asia, anzitutto benvenuta nella comunità.
Ti mostrerò come svolgere l'esercizio solo perché dopo tante ore dalla pubblicazione della domanda non corro più il rischio di rèndermi còmplice di tuoi eventuali reati.
Ma, come t'ha già fatto notare @Sebastiano (sia pure implicitamente), non è questo tuo il modo corretto di presentare una domanda su questo sito.
Questo sito non ha lo scopo di fare i còmpiti al posto tuo, ma quello ben più nòbile di aiutarti a superare difficoltà o a chiarire punti critici che ti lasciano un dubbio su un significato o una procedura; in altre parole: siamo disposti a fornire spiegazioni, anche lunghe e complesse, ma non lavoro servile che ti aiuti a truffare la tua classe presentando come tua la soluzione di uno di noi.
Penso che, oltre a lèggere il Regolamento, potresti trarre beneficio impiegando qualche minuto nella lettura (e successiva meditazione) di un po' di risposte e commenti che trovi ai seguenti link e in cui io e altri membri molto attivi raccontiamo in che forma sarebbe bello ricevere le vostre domande.
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/17931/
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/17873/
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/13048/
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/14132/
http://www.sosmatematica.it/forum/domande/goniometria-2/#post-14194
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Questo svolgimento dell'esercizio è ovviamente del tutto a modo mio, perché nulla hai scritto su quale parte desti le tue perplessità o incapacità:
* non hai studiato a sufficienza?
* non sai calcolare la simmetria?
* o l'intersezione fra le circonferenze?
* non sai esprimere il fascio?
BOH, 'A MARONN' 'O SAPE!
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A) La circonferenza
* γ ≡ x^2 + y^2 + 2*x − 4*y − 5 = 0 ≡
≡ γ ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10
ha
* centro C(- 1, 2)
* raggio r = √10
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B) La richiesta circonferenza γ' ha lo stesso raggio di γ, ma è centrata nel punto simmetrico di C, in C'(1, - 2); quindi è
* γ' ≡ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 10
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C) Il sistema delle circonferenze dà i punti base del loro fascio
* γ & γ' ≡ ((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10) & ((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 10) ≡
≡ A(- 2, - 1) oppure B(2, 1)
con
* asse radicale AB ≡ y = x/2
* asse centrale CC' ≡ y = - 2*x
che, come dovuto, risùltano ortogonali nell'origine.
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D) Circa l'equazione del fascio di circonferenze è notevole la specificazione "... che ammette γ come una ..." perché lascia intendere che l'Autore dell'esercizio abbia pensato solo alla soluzione per definizione, basata sulla forma normale canonica delle due generatrici
* γ ≡ x^2 + y^2 + 2*x − 4*y − 5 = 0
* γ' ≡ x^2 + y^2 - 2*x + 4*y - 5 = 0
da cui
* Γ(λ, μ) ≡ λ*(x^2 + y^2 + 2*x − 4*y − 5) + μ*(x^2 + y^2 - 2*x + 4*y - 5) = 0
ovvero con
* (λ != 0) & (k = μ/λ)
* Γ(k) ≡ (x^2 + y^2 + 2*x − 4*y − 5) + k*(x^2 + y^2 - 2*x + 4*y - 5) = 0
che dà γ come Γ(0), ma che non può dare γ'.
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D') Esiste però una soluzione più intuitiva e che non sacrifica la visibilità di γ'.
Tutte le circonferenze del fascio sono centrate sull'asse centrale "y = - 2*x" cioè con centro C(k, - 2*k) per ogni valore k reale.
Dovendo il centro essere equidistante dai punti base il raggio è tale comune distanza
* q(k) = r^2 = |CA|^2 = |CB|^2 = 5*(k^2 + 1)
da cui
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + 2*k)^2 = 5*(k^2 + 1)
e si vede che, per k = ± 1, si trovano entrambe le generatrici.