Vettori

a)  Vettore v ┴ w.

Imponiamo che il prodotto scalare sia nullo

$ <(a,a,b), (\frac{1}{2},\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})> = 0 $

$ a + \frac{\sqrt{2}}{2}b = 0 $

$ a = - b\frac{\sqrt{2}}{2}$

Il vettore cercato è $v = b(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

Essendo, per ipotesi a > 0 necessariamente b < 0.

b)   vettore s 

Il vettore s è dato dal prodotto vettoriale del vettore v e del vettore w, cioè

$ s = b(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) \times \frac{1}{2} ( 1,1,\sqrt{2}) = b(-1,1,0)$

c) modulo del vettore s. 

1° modo. dalla definizione $\|s\| = \sqrt{b^2((-1)^2+1^2+0^2)} = |b|\sqrt{2} = -b\sqrt{2}$

2° modo. Il tuo dubbio è contagioso, forse a lezione ha detto qualcosa a riguardo. L'unica possibilità, che mi viene in mente, è il metodo "a occhio"

Osserviamo che il vettore ha la terza componente nulla quindi il vettore s giace sul piano xy, o meglio z = 0.

Osserviamo che le componenti  x e y del vettore hanno modulo eguale.

Il modulo di s è la distanza del punto individuato dal vettore dall'origine. Dal punto di vista geometrico è la diagonale di un quadrato di lato |b|; quindi non può che essere 

 $\|s\| = |b|\sqrt{2} = -b\sqrt{2}$ 

L'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che b è negativo.