Spiegazioni quante ne vuoi, sarò addirittura noioso!
Svolgimenti assai meno, l'esrcizio è tuo: io userò una delle tue cinque coppie come esempio per illustrare i passaggi logici necessarii per soddisfare alle consegne.
Ah, ho una certa avversione per i simboli pluricarattere.
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PROBLEMA
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Data la coppia di vettori omodimensionali, definiti sullo stesso campo reale
* a(1, 7, − 3), b(2, 1, 3)
di moduli |a| e |b| e che formano l'angolo θ fra loro, si chiede di calcolare:
A) |a|, |b|, θ
B) il prodotto scalare a.b
C) il prodotto vettoriale a×b
D) il valore di verità di due diseguaglianze (questa è una consegna vessatoria: sono già state dimostrate una da Bunyakovsky nel 1859, l'altra addirittura da Euclide nel Libro I, Prop. 20; verificarle è superfluo.).
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D1) Bunyakovsky (c.d. Cauchy-Schwarz): il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori non supera il prodotto dei loro moduli e lo eguaglia solo se essi sono multipli (paralleli o antiparalleli)
* (θ = 0) & (|a.b| = |a|*|b|) oppure (θ != 0) & (|a.b| < |a|*|b|)
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D2) Euclide ... Minkowski (c.d. triangolare): il modulo del risultante di due vettori non supera la somma dei loro moduli e la eguaglia solo se essi sono paralleli e concordi
* (θ = 0) & (|a + b| = |a|*|b|) oppure (θ != 0) & (|a + b| < |a| + |b|)
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SPIEGAZIONE e SVOLGIMENTO
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AB) Si calcola il modulo di ciascun vettore come radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti
* |a| = √(1^2 + 7^2 + (- 3)^2) = √59
* |b| = √(2^2 + 1^2 + 3^2) = √14
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Si calcola il prodotto scalare secondo le due definizioni ed eguagliando le due espressioni si trova cos(θ) e, da arccos(cos(θ)), θ.
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"scontrino del supermercato": somma dei prodotti fra componenti omologhe
* a.b = (1, 7, − 3).(2, 1, 3) = 1*2 + 7*1 + (− 3)*3 = 0
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"correzione Pitagora-Carnot": prodotto fra i moduli e il coseno di θ
* a.b = (1, 7, − 3).(2, 1, 3) = |a|*|b|*cos(θ) = (√59)*(√14)*cos(θ) = (√826)*cos(θ)
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* 0 = (√826)*cos(θ) ≡ cos(θ) = 0 ≡ θ = π/2 = 90° ≡ (a, b) sono ortogonali.
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Risultato: |a| = √59; |b| = √14; θ = π/2 = 90°.
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C) Il prodotto vettoriale pv = a×b fra i due vettori
* a(1, 7, − 3), b(2, 1, 3)
definiti nel riferimento Oxyz si calcola come determinante di una matrice che ha come prima riga i tre versori (x, y, z) degli assi, come seconda le componenti (1, 7, − 3) del moltiplicando, come terza le componenti (2, 1, 3) del moltiplicatore
* a×b = det[{{x, y, z}, {1, 7, − 3}, {2, 1, 3}}] = 24*x - 9*y - 13*z
quindi ha
* componenti (24, - 9, - 13)
* modulo √(24^2 + (- 9)^2 + (- 13)^2) = √826 = |a|*|b|*sin(θ)
* coseni direttori (24/√826, - 9/√826, - 13/√826)
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D1) Cauchy-Schwarz
* |a.b| <= |a|*|b| ≡ |0| <= (√59)*(√14) ≡ 0 <= √826 ~= 28.7 ≡ VERO
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D2) Triangolare
* |a + b| <= |a| + |b| ≡
≡ |(1, 7, − 3) + (2, 1, 3)| <= √59 + √14 ~= 11.4 ≡
≡ |(3, 8, 0)| <= √59 + √14 ~= 11.4 ≡
≡ √73 ~= 8.5 <= √59 + √14 ~= 11.4 ≡ VERO
