Nello spazio vuoto considera un piano di carica, con densità superficiale - 5,31 × 10^-5 C/m^2 e posto un verticale, e una pallina di massa m=5,46 g e carica q=8,92 nC. Nella risloxione del problema utilizza un sistema di riferimento cartesiano con l'asse x orizzontale, in direzione perpendicolare so piano di carica, e l'asse y verticale. Scegli come origine del sistema di riferimento il punto da cui parte la pallina e come verso negativo delle ascisse quello in cui punta la forza elettrostatica che agisce su q.
a.
Individua, in direzionezverso e modulo, l'accelerazione a1 impressa alla pallina dalla sola forza elettrostatica e, quindi, l'accelerazione complessiva a della pallina calcolata tanendoa anche conto della forza peso.
allora essendo sigma = - 5.31*10^-5 C/m² < 0 il campo di componente E = sigma/(2eps0) <0 è diretto verso il piano (da ambo i lati di esso) . la pallina ha carica q =8.92 nC >0 e subisce una forza F1 = q*E = q * sigma/(2eps0) = m*a1 diretta verso il piano { quindi per la traccia le x vanno in senso opposto , solo le positive... e la componente a1 è negativa (!?)}, ricaviamo:
a1 = F1/m = qE/m = q*sigma/(2m*eps0) = ~ 8.92 *10^-9*(- 5.31*10^-5 )/(2*5.46*10^-3*8.8542*10^-12) = -4.89877...= ~ - 4.90 m/s²
se y è verso l'alto è:
ap = -g
a = sqrt(ap² + a1²) = ~ sqrt(9.8² + 4.9²) = 10.9567...= ~ 11.0 m/s² ----> modulo
theta = arctan(-9.8/-4.9) = 63.43°+180° ---> anomalia nel 4° quadrante
b. Poni uguale a zero l'energia potenziale elettrostatica della pallina quando essa di trova nell'origine; in base a ciò, scrivi l'energia potenziale del sistema piano-pallina quando questa di trova in un punto di ascissa x, con x>0.
Siccome E { nella ipotesi è < 0 } non varia con x esce dall'integrale ... {sia P di acissa x>0}
Ux= Up -Uo = Upo = q(Vp - Vo) = Lpo = -Lop = - intg(da 0 a x)Fdx = - q *E* intg(da 0 a x)dx = -q*E*x = -8.92 *10^-9*(- 5.31*10^-5 )x/(2*8.8542*10^-12) = ~ 0.0267x J ---> ricontrolla!
c. La pallina è lanciata con velocità iniziale v0 parallela al vettore - a {stesso modulo ma anomalia theta -180°}e di modulo v0=5,81 m/s. Determina la forma della traiettoria percorsa dalla pallina a partire dall'istante un cui viene lanciata e, utilizzando il principio di conservazione dell'energia, determina le coordinate del punto P in cui essa raggiunge la massima distanza dall'origine (prima di invertire il verso del moto).
se la pallina è lanciata nella direzione della forza F= m*a, la traiettoria è una retta (o meglio porzione di essa) e il moto è accelerato uniforme ( si tratta di decelerazione -a essendo q attratta dal piano e dal suolo!)
supporremo di partire dall'origine {d = s- so = s -0 = s}
Ko = m*vo²/2
quando inverte il moto tutta l'energia cinetica Ko si sarà convertita in potenziale
U = m*vo²/2 = -L = m*a*d
d = vo²/(2a) ---> distanza del punto P dall'origine
ora dx = x = vo²*cos(theta -180°)/(2a) = 5.81^2*cos( 63.43°+180°-180°)/(22)= 0.6863... m
e dy = y = vo²*sen(theta -180°)/(2a) = 5.81^2*sen( 63.43°+180°-180°)/(22) = 1.3723... m
d. Calcola la distanza tra l'origine e il punto P. Poi verifica che questa è effettivamente la distanza percorsa da un punto materiale con velocità iniziale v0 e soggetto a un'accelerazione di modulo a e diretta in senso opposto a v0.
d = vo²/(2a) = 5.81^2/(22) = 1.534... m --> distanza del punto P dall'origine
deve essere (equaz. senza tempo della tabella youmath):
v² - vo² = 2*d*(-a) dove v = 0 m/s ---> d = vo²/(2a) ---> ok!
