La funzione è y=(x-1)²/(x+1)³
Io ho fatto la derivata prima e mi viene che in 1 ho un min relativo e in 5 ho un max relativo , ora però non so come verificare se la funzione nell'intervallo [1;4] ha un max o min assoluto (devo usare il teorema di weierstass) , grazie a chi mi aiuterà
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Livello 0
Il Teorema di Weierstrass è un risultato classico dell’analisi che garantisce l’esistenza di massimo e minimo assoluto per una funzione definita e continua su un intervallo chiuso e limitato.
La funzione in esame in effetti soddisfa pienamente questi requisiti nel dominio considerato.
I valori che assume la funzione agli estremi di tale intervallo sono:
x=1----> y = (1 - 1)^2/(1 + 1)^3------> y = 0 che vedremo essere un minimo relativo ed anche assoluto in tale intervallo
x=4----> y = (4 - 1)^2/(4 + 1)^3-----> y = 9/125 che vedremo essere un massimo assoluto in tale intervallo,
Infatti la derivata della funzione in esame vale:
y' = dy/dx= (1 - x)·(x - 5)/(x + 1)^4
e per essa si ha:
y'=(1 - x)·(x - 5)/(x + 1)^4 ≥ 0 se: 1 ≤ x ≤ 5
Quindi nell'intervallo considerato la funzione è sempre crescente con le caratteristiche che ho detto inizialmente
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Genius II
@lucianop Ciao, ma io come faccio a capire che si tratta di un Min assoluto?
@lucianop devo confrontare i risultati che trovo con l'intervallo della funzione dove è crescente?
Devi fare esclusivamente riferimento all'intervallo considerato NON al C.E. della funzione in esame!!!!
@lucianop hmm tu come hai fatto non ho capito, cioè tu guardi che in x=1 la y vale 0 e in x=4 la y vale 0.7 poi? questi risultati con cosa bisogna confrontarli?
Se la funzione
* f(x) = y = (x - 1)^2/(x + 1)^3
è definita e continua sull'intero intervallo chiuso [1, 4] (sì, lo è: è indefinita e discontinua solo per x = - 1) allora il Teorema garentisce l'esistenza degli estremi assoluti.
"COME VERIFICARE"
Costruttivamente, per passi successivi.
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1) Calcolare le soluzioni del sistema degli estremi relativi.
* (f'(x) = 0) & (f''(x) != 0) ≡
≡ (- (x - 1)*(x - 5)/(x + 1)^4 = 0) & (2*(x - (5 - 2*√3))*(x - (5 + 2*√3))/(x + 1)^5 != 0) ≡
≡ ((x = 1) oppure (x = 5)) & (x != (5 - 2*√3)) & (x != (5 + 2*√3)) ≡
≡ (x = 1) oppure (x = 5)
------------------------------
2) Valutare f(x) sull'insieme delle ascisse degli estremi relativi di f(x) nell'intervallo e degli estremi dell'intervallo di x: {{1, 5} U {1, 4}}\{5} = {1, 4}
* f(1) = y = (1 - 1)^2/(1 + 1)^3 = 0
* f(4) = y = (4 - 1)^2/(4 + 1)^3 = 9/125
valori che sono gli estremi assoluti cercati.
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Genius I
