VERIFICA LIMITE

lim_x->-oo x/(x^2 - 6x + 9) = 0

limite finito all'infinito

Per ogni eps > 0 esiste M : x < - M => |f(x)| < eps

- eps < x/(x^2 - 6x + 9) < eps

devi far vedere che fra le soluzioni di questo sistema di

disequazioni c'é un intorno di -oo

x/(x^2 - 6x + 9) > - eps

x/(x^2 - 6x + 9) < eps

se x é diverso da 3 risolvi

{ x + eps (x^2 - 6x + 9) > 0

{ x - eps (x^2 - 6x + 9) < 0

intersecando gli intervalli che ne vengono

La regola è una sola domanda.

Affrontiamo la prima che, a mio parere, non pare affatto banale.

Scriviamo la definizione di limite applicabile a questo caso.

$ \forall \epsilon \gt 0  \quad \exists M \gt 0 \; | \; \forall x \lt - M \quad \text{allora} \quad| \frac {x}{x^2+6x+9} | \lt \epsilon $

Si tratta di trovare M, che ovviamente dipende da ε.

Partiamo dall'ultima disequazione

$ 0 \le | \frac {x}{x^2+6x+9} | \lt \epsilon $

Passiamo ai reciproci

$  | \frac {x^2+6x+9} {x}| \gt \frac{1}{\epsilon} $

$  |x^2+6x+9| \gt \frac{|x|}{\epsilon} $

Le x assumono valori negativi quindi

$  |x^2+6x+9| \gt \frac{-x}{\epsilon} $

La disequazione impone che il trinomio sia positivo quindi possiamo eliminare il modulo

$  x^2+6x+9 \gt \frac{-x}{\epsilon} $ 

$  x^2+(6+\frac{1}{\epsilon})x+9 \gt 0 $

Risolviamo in x e scegliamo il ramo negativo

$ x \lt - [ \frac{6\epsilon +1}{2\epsilon} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac {12\epsilon +1}{\epsilon^2}}] $

Abbiamo così determinato un valore di M che rende vera la definizione di limite.

$M = \frac{6\epsilon +1}{2\epsilon} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac {12\epsilon +1}{\epsilon^2}} $