La regola è una sola domanda.
Affrontiamo la prima che, a mio parere, non pare affatto banale.
Scriviamo la definizione di limite applicabile a questo caso.
$ \forall \epsilon \gt 0 \quad \exists M \gt 0 \; | \; \forall x \lt - M \quad \text{allora} \quad| \frac {x}{x^2+6x+9} | \lt \epsilon $
Si tratta di trovare M, che ovviamente dipende da ε.
Partiamo dall'ultima disequazione
$ 0 \le | \frac {x}{x^2+6x+9} | \lt \epsilon $
Passiamo ai reciproci
$ | \frac {x^2+6x+9} {x}| \gt \frac{1}{\epsilon} $
$ |x^2+6x+9| \gt \frac{|x|}{\epsilon} $
Le x assumono valori negativi quindi
$ |x^2+6x+9| \gt \frac{-x}{\epsilon} $
La disequazione impone che il trinomio sia positivo quindi possiamo eliminare il modulo
$ x^2+6x+9 \gt \frac{-x}{\epsilon} $
$ x^2+(6+\frac{1}{\epsilon})x+9 \gt 0 $
Risolviamo in x e scegliamo il ramo negativo
$ x \lt - [ \frac{6\espilon +1}{2\epsilon} + \frac{1}{2} \sqrt{frac {12\epsilon +1}{\espilon^2}}] $
Abbiamo così determinato un valore di M che rende vera la definizione di limite.
$M = \frac{6\espilon +1}{2\epsilon} + \frac{1}{2} \sqrt{frac {12\epsilon +1}{\espilon^2}} $
Non credo che questo sia un esercizio adatto a chi vuole "ripassare un pò di matematica da sola".
