Verifica di un limite finito per x che tende a x0

dalla definizione di limite per questo caso, indicando con D il dominio della funzione 

$ \forall ε \gt 0 \qquad \exists δ > 0 \quad | \qquad \ \forall x \in (2-δ, 2+δ) \cap D \setminus\{2\} \quad \text{allora si ha} $

$ | \frac{1}{log_2 x} - 1|\lt ε $

nota: a volte ci si accontenta di trovare, in sostituzione del δ, un intorno completo di x₀ = 2.

Si parte dall'ultima disequazione e si dimostra che il δ > 0 esiste.

$| \frac{1}{log_2 x} - 1|\lt ε $

$ -ε \lt  \frac{1}{log_2 x} - 1 \lt ε $

$ 1-ε \lt  \frac{1}{log_2 x} \lt 1+ε $

passiamo ai reciproci

$ \frac{1}{1+ε} \lt  log_2 x \lt \frac{1}{1-ε} $

Usiamo la definizione di logaritmo in base 2

$ 2^{\frac{1}{1+ε}} \lt  x \lt 2^{\frac{1}{1-ε}} $

e questo è un intorno completo di x = 2.

Se si vuole rispondere con il δ occorre operare un ulteriore passaggio. Notiamo che la distanza dei due estremi dell'intervallo da x = 2 non è eguale; scegliamo allora il più piccolo tra i due e lo battezziamo δ.

$ δ = min\{2^{\frac{1}{1+ε}}, 2^{\frac{1}{1-ε}}\} = 2^{\frac{1}{1+ε}}$