Buongiorno! Avrei bisogno di aiuto con la verifica di questo limite
Buongiorno! Avrei bisogno di aiuto con la verifica di questo limite
dalla definizione di limite per questo caso, indicando con D il dominio della funzione
$ \forall ε \gt 0 \qquad \exists δ > 0 \quad | \qquad \ \forall x \in (2-δ, 2+δ) \cap D \setminus\{2\} \quad \text{allora si ha} $
$ | \frac{1}{log_2 x} - 1|\lt ε $
nota: a volte ci si accontenta di trovare, in sostituzione del δ, un intorno completo di x₀ = 2.
Si parte dall'ultima disequazione e si dimostra che il δ > 0 esiste.
$| \frac{1}{log_2 x} - 1|\lt ε $
$ -ε \lt \frac{1}{log_2 x} - 1 \lt ε $
$ 1-ε \lt \frac{1}{log_2 x} \lt 1+ε $
passiamo ai reciproci
$ \frac{1}{1+ε} \lt log_2 x \lt \frac{1}{1-ε} $
Usiamo la definizione di logaritmo in base 2
$ 2^{\frac{1}{1+ε}} \lt x \lt 2^{\frac{1}{1-ε}} $
e questo è un intorno completo di x = 2.
Se si vuole rispondere con il δ occorre operare un ulteriore passaggio. Notiamo che la distanza dei due estremi dell'intervallo da x = 2 non è eguale; scegliamo allora il più piccolo tra i due e lo battezziamo δ.
$ δ = min\{2^{\frac{1}{1+ε}}, 2^{\frac{1}{1-ε}}\} = 2^{\frac{1}{1+ε}}$