Preliminarmente determiniamo il dominio
Dominio f(x) cioè D = (-∞, 3)
.
Dalla definizione di limite
$ \forall ε \gt 0 \quad \exists \, δ \gt 0 \quad | \quad \forall x\in (1-δ, 1+δ) \cap D \setminus \{1\}$
$|f(x) -1| \lt ε $
Ho riportato la definizione completa di limite, molto spesso, sia l'intersezione con il dominio D che l'esclusione del punto x=1vengono sottintese.
Lo scopo della verifica è dimostrare che esiste δ∈ℝ⁺, oppure che esiste un intervallo completo del punto x=1.
Partiamo quindi dall'ultima disequazione è determiniamo un intervallo completo.
$ |log_2(3-x) - 1| \lt ε $
$ -ε \lt log_2(3-x) - 1 \lt ε $
$ 1-ε \lt log_2(3-x) \lt 1+ε $
$ 2^{1-ε} \lt 3-x \lt 2^{1+ε} $
$ 2^{1-ε} - 2 \lt 1-x \lt 2^{1+ε} - 2 $
se preferisci moltiplichiamo tutto per -1
$ 2 - 2^{1+ε} \lt x-1 \lt 2 - 2^{1-ε} $
che costituisce un intorno completo del punto x = 1
Se vuoi esprimere il risultato con il δ basta scegliere il minimo valore tra
$ δ = min \{ 2^{1+ε} - 2, 2 - 2^{1-ε} \} $
nota: δ è la distanza dal punto 1 dove valgono entrambe le disequazioni, ecco perché si sceglie il minimo.