Verifica di un limite

Preliminarmente determiniamo il dominio 

Dominio f(x) cioè D = (-∞, 3)

.

Dalla definizione di limite

$ \forall ε \gt 0 \quad \exists \, δ \gt 0 \quad | \quad \forall x\in (1-δ, 1+δ) \cap D \setminus \{1\}$

$|f(x) -1| \lt ε $

Ho riportato la definizione completa di limite, molto spesso, sia l'intersezione con il dominio D che l'esclusione del punto x=1vengono sottintese. 

Lo scopo della verifica è dimostrare che esiste δ∈ℝ⁺, oppure che esiste un intervallo completo del punto x=1.  

Partiamo quindi dall'ultima disequazione è determiniamo un intervallo completo.

$ |log_2(3-x) - 1| \lt ε $

$ -ε \lt log_2(3-x) - 1 \lt ε $

$ 1-ε \lt log_2(3-x) \lt 1+ε $

$ 2^{1-ε} \lt 3-x \lt 2^{1+ε} $

$ 2^{1-ε} - 2 \lt 1-x \lt 2^{1+ε} - 2 $

se preferisci moltiplichiamo tutto per -1

$ 2 - 2^{1+ε} \lt x-1 \lt 2 - 2^{1-ε} $

che costituisce un intorno completo del punto x = 1 

Se vuoi esprimere il risultato con il δ basta scegliere il minimo valore tra 

$ δ = min \{ 2^{1+ε} - 2, 2 - 2^{1-ε} \} $

nota: δ è la distanza dal punto 1 dove valgono entrambe le disequazioni, ecco perché si sceglie il minimo.