velocità finali di due biglie

Conservazione qdm ed energia cinetica : si scrivono

{ 3m * 4 + m*0 = 3m vf1 + m vf2

{ 1/2 * 3m * 4^2 + 0 = 1/2 * 3m vf1^2 + 1/2 m vf2^2

e si riordinano come

{ 3 vf1 + vf2 = 12

{ 3 vf1^2 + vf2^2 = 48

dalla prima, vf2 = 12 - 3 vf1

e, sostituendo nell'altra equazione

3 vf1^2 + 144 + 9 vf1^2 - 72 vf1 - 48 = 0

12 vf1^2 - 72 vf1 + 96 = 0

vf1^2 - 6 vf1 + 8 = 0

vf1^2 - 2vf1 - 4vf1 + 8 = 0

vf1 (vf1 - 2) - 4(vf1 - 2) = 0

(vf1 - 2)(vf1 - 4) = 0

vf1 = 2 m/s    e vf2 = 12 - 3*2 = 6 m/s

con vf1 = 4 si ritroverebbe la soluzione di partenza

ante urto 

Q. di M.  P = m*V' = m*4 kg*m/sec 

energia cinetica Ek = m/2*4^2 = 8m joule 

post urto

P si mantiene, pertanto :

m/3*V1+m*V2 = 4m (la massa m si semplifica)

V1 = (4m-mV2)*3/m = 3(4-V2) = 12-3V2

Ek si mantiene, pertanto :

m/3*(12-3V2)^2+m*V2^2 = 16m (doppia energia cinetica)

m/3(144+9V2^2-72V2)+mV2^2 = 16m 

48m+3mV2^2-24mV2+mV^2 = 16m (la massa m si semplifica) 

32-24V2+4V^2 = 0 

V2 = (24-√24^2-32*16)/8 = 2,00 m/sec  

V1 = 12-3V2 = 12-6 = 6,0 m/sec 

verifica:

V1/3+V2 = 4

6/3+2 = 4 ...OK!!

6^2/3+2^2 = 12+4 = 16 ...OK!! 

1^ biglia: massa 3m ; velocità iniziale 4 m/s

2^ biglia: massa m; inizialmente ferma

Siano x velocità finale 1^ biglia; y velocità finale 2^ biglia

Urto perfettamente elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica.

Si scrive un sistema lineare in x ed y:

{(3·m)·4 = (3·m)·x + m·y

{1/2·(3·m)·4^2 = 1/2·(3·m)·x^2 + 1/2·m·y^2

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Quindi si risolve: (semplificando)

{3x+y=12

{3·x^2 + y^2 = 48

per sostituzione:

y=12-3x

3·x^2 + (12 - 3·x)^2 = 48

3·x^2 + (9·x^2 - 72·x + 144) = 48

12·x^2 - 72·x + 96 = 0--------> (x - 2)·(x - 4) = 0------> x = 4 ∨ x = 2

Si scarta la prima perché corrisponde alla situazione iniziale, quindi x=2 m/s 

y=12-3*2-------> y=6 m/s

Quando "non viene giusto" di solito è per essere passati troppo presto a usare i valori dei dati che invece si dovrebbero sostituire solo nelle formule del risultato.
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Risultato richiesto: le velocità (0 < v < V) di due bilie di masse (0 < m/k < m, k > 1) dopo un urto centrale ("lungo la stessa direzione") e perfettamente elastico, quindi conservandosi sia Q = m*d che E = m*d^2/2 (d = velocità data).
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Vale a dire
* (Q = m*d = m*v + m*V/k) & (E = m*d^2/2 = m*v^2/2 + m*V^2/(2*k)) & (k > 1) ≡
≡ (d = v + V/k) & (d^2 = v^2 + V^2/k) & (k > 1) ≡
≡ (v = ((k - 1)/(k + 1))*d) & (V = (2*k/(k + 1))*d)
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Con i valori dati
* (k, d) = (3, 4 m/s)
si ha
* (v = ((3 - 1)/(3 + 1))*4 = 2 m/s) & (V = (2*3/(3 + 1))*4 = 6 m/s)
e così il risultato "viene giusto".