Dopo aver determinato per quali valori di $k$ l'equazione $x^2+y^2-6 x-4 y+k+1=0$ rappresenta una circonferenza, stabilisci per quale valore di $k$ la circonferenza:
a. ha raggio 3 ;
b. passa per il punto $A\left(-\frac{1}{2} ; \frac{3}{2}\right)$;
c. si trova nel primo quadrante.
24
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Livello 0
L'equazione di una conica
* priva del termine rettangolare (0*x*y)
* con i termini quadrati di pari coefficiente non nullo (a*(x^2 + y^2), a != 0)
rappresenta una circonferenza quali che siano i valori degli altri coefficienti.
Secondo il segno del quadrato del raggio r
* per r^2 < 0, rappresenta circonferenze immaginarie
* per r^2 = 0, rappresenta l'unica circonferenza reale degenere
* per r^2 > 0, rappresenta circonferenze reali non degeneri
Per poter applicare tale distinzione di casi a un'equazione concreta la si deve riportare alla forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
da cui leggere: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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Per il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + k + 1 = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 12 - k
si ha che
* per k > 12, Γ(k) è immaginaria
* per k = 12, Γ(k) è l'unica circonferenza reale degenere
* per k < 12, Γ(k) è reale non degenere
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Risposte ai quesiti
a) r = 3 → 9 = 12 - k ≡ k = 3
b) A(- 1/2, 3/2): (- 1/2 - 3)^2 + (3/2 - 2)^2 = 12 - k ≡ k = - 1/2
c) Γ(k), di centro C(3, 2), si trova nel primo quadrante se e solo se
* r^2 <= 2^2 ≡ 12 - k <= 2^2 ≡ k >= 8
NB: per averla anche reale occorre 8 <= k <= 12; e, per averla anche non degenere, 8 <= k < 12.
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