Buonasera a tutti, è da un pò di tempo che non mi approccio alla matematica, ho ripreso da poco un pò per curiosità un pò per rinfrescare vecchie lezioni di anni fa delle superiori. Oggi mi trovo qua per chiedervi un chiarimento. L'esercizio sarebbe questo:
Quello che non capisco è perchè, nella formula per esprimere la distanza di una retta all'origine,l'esercizio da come corretto -3k+5/√(1+k^2)
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Livello 0
Dati il punto $P(x_p, y_p)$ e la retta r: ax+by+c = 0; si dimostra che la distanza del punto P dalla retta r: è data dalla
$ d(P, r:) = \frac{|ax_p + by_p + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $
Nel caso che P sia l'origine degli assi O(0, 0) la formula si riduce alla
$ d(0, r:) = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2} }$
che coincide con quella riportata nel testo.
Scriviamo l'equazione della retta in forma implicita come richiesto dalla formula cioè
r: kx -y -3k+5 = 0
La distanza dall'origine sarà
$ d(O, r:) = \frac{|-3k+5|}{\sqrt{k^2+1}} $
Spero di essere stato di aiuto.
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Livello 4
@cmc Ok perfetto, mi ero fissato sul fatto che, nel denominatore, 1 fosse il valore di a e k^2 fosse il valore di b, invece l'esercizio li ha ordinati in modo diverso, ora ho capito, grazie!!
Avrei un'altra domanda se possibile... nel proseguo dell'esercizio
3= -3k+5/√(1+k^2), (uguagliato a 3 perchè imposto dall'esercizio), ma non capisco il proseguo, come si arriva a (-3k+5)^2 = 9(1+k^2)?
Grazie ancora! Ormai ho ricordi un pò annebbiati
a. La distanza d(O, r:) si vuole pari a 3. Ovvero
$ 3 =frac{|-3k+5|}{\sqrt{k^2 +1}} $
$ 3 \sqrt{k^2 +1} = |-3k+5| $
quadriamo ambo i membri
$ 9 (k^2+1) = (|-3k+5|)^2 = (-3k+5)^2 $
etc.
due osservazioni:
1. |a|^2 = a^2
2. Quadrando ambo i lati possiamo aver introdotto soluzioni dei termini al quadrato che non sono soluzioni dell'equazione originaria. In questo caso è necessario fare la verifica con l'equazione da quadrare e scartare quelle soluzioni che non la soddisfano.
@cmc Capito perfettamente, grazie!!
