[Risolto] urto elastico

Se l'urto è elastico si conservano la quantità di moto e l'energia cinetica.

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ ;

Se l’urto è elastico si deve conservare l’energia cinetica:

1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 1/2 m1 v1’^2 + 1/2 m2 v2’^2;

queste due equazioni si semplificano nel sistema e diventano di primo grado:

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;  conservazione quantità di moto;

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′); conservazione dell'energia cinetica.

applica queste semplici equazioni di primo grado.

Dimostrazione:

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;  (1)

1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 1/2 m1 v1’^2 + 1/2 m2 v2’^2;  (2)

semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

m1 (v1’^2 – v1^2) = m2 (v2^2 – v2’^2);

svolgendo le differenze di quadrati, diventa:

m1 (v1′ – v1) (v1′ + v1) = m2 (v2 – v2′) (v2 + v2′);  (1)

m1 (v1′ – v1)   =   m2 ( v2 – v2′);   (2)   

dividendo la (1) con la (2) membro a membro, le masse se ne vanno;   

m1/m1 = 1;     m2/m2 / 1;

(v1′ – v1) (v1′ + v1) : (v1′ – v1) = (v1′ + v1);  (primo membro);

(v2 – v2′) (v2 + v2′) : ( v2 – v2′) = ( v2 + v2′); (secondo membro);

m1 (v1′ – v1) (v1′ + v1) = m2 (v2 – v2′) (v2 + v2′);  (1)

m1 (v1′ – v1)   =   m2 ( v2 – v2′);     (2)   

dividendo a membro a membro, otteniamo

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′). 

Resta costante la somma delle velocità prima e dopo l'urto (v + v').

questa è la condizione di conservazione dell’energia cinetica per un urto elastico, insieme alla conservazione della quantità di moto:

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;  conservazione quantità di moto;

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′); conservazione dell'energia cinetica.

applica queste due semplici equazioni di primo grado, che si ricordano facilmente.

@boboclat ciao

Risolvi il sistema

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2'

1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 1/2 m1 v1'^2 + 1/2 m2 v2'^2

che esprime la conservazione della quantità di moto totale e dell'energia cinetica totale essendo l'urto elastico.

Trattasi di urto elastico e pertanto : 

si conserva p nella forma :

m1*V1+m2*V2 = m1*V'1+m2*V'2

si conserva l'energia cinetica nella forma semplificata : 

V1+V'1 = V2+V'2....(quite easy to remind)

sistema da risolvere :

{m1*V1+m2*V2 = m1*V'1+m2*V'2  (1)

{V1+V'1 = V2+V'2  (2)  ⇒  V'1 = V2-V1+V'2 da sostituire nella (1)

m1*V1+m2*V2 = m2*V'2+m1*(V2-V1+V'2)

m1*V1+m2*V2-m1*V2+m1*V1 = V'2(m1+m2)

V'2 = (m1(2V1-V2)+m2*V2)/(m1+m2) ...che sostituita nella (2)  restituisce V'1