URGENTE PERFAVORE LIMITI!!

Svolgo il n. 12 

lim_x->+oo 3x^2/(x+1) = +oo

Dobbiamo dimostrare che per ogni M > 0 esiste K > 0 tale che se x > K

| 3x^2/(x + 1) | > M

poiché x tende a +oo posso limitarmi a considerare un intervallo tutto a destra di -1

in cui il valore assoluto non opera

3x^2/(x + 1) > M e poiché x + 1 > 0

3x^2 > M(x + 1)

3x^2 - Mx - M > 0

a cui corrisponde

x > (M + rad(M^2 + 12M)/6 = K che risulta un intorno di +oo.

L'altro intervallo non ha importanza.

Svolgo il n. 13

lim_x->-oo (3x + 1)/(x - 2) = 3 

Dobbiamo dimostrare che per ogni eps > 0 esiste K > 0 tale che 

x < - K =>    |(3x + 1)/(x - 2) - 3| < eps 

Partiamo dalla fine e risolviamo 

| ((3x + 1) - 3(x - 2))/(x - 2) | < eps 

| (3x + 1 - 3x + 6) / (x - 2 ) | < eps 

| 7/(x - 2) | < eps 

7/|x - 2| < eps 

e per la non negatività del denominatore 

7 < eps |x - 2|

|x - 2| > 7/eps 

x - 2 < -7/eps   V  x - 2 > 7/eps 

per l'intervallo di sinistra   x < (2 - 7/eps)   = K   e siamo arrivati.