Trova l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y con vertice di coordinate v(1;5) e tangente alla retta di equazione y-4×+1
Trova l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y con vertice di coordinate v(1;5) e tangente alla retta di equazione y-4×+1
Ciao,
Una parabola avente asse di simmetria parallelo all'esse y ha equazione generica:
$y=ax^2+bx+c $
Dalle coordinate del vertice avente asse di simmetria parallelo all'asse y :
$x_{V}=-\frac{b}{2a}$
$y_{V}=-\frac{\Delta b}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$
Ricaviamo due condizioni:
$-\frac{b}{2a}=1$
$-\frac{b^2-4ac}{4a}=5 $
Mettiamo a sistema:
$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1 \\-\frac{b^2-4ac}{4a}=5\end{cases}\rightarrow$
$\begin{cases}b=-2a \\-\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=5\end{cases}\rightarrow$
$\begin{cases}b=-2a \\-\frac{4a^2-4ac}{4a}=5\end{cases}\rightarrow$
$\begin{cases}b=-2a \\-4a^2+4ac=20a\end{cases}\rightarrow $
$\begin{cases}b=-2a \\4ac=20a+4a^2\end{cases}\rightarrow$
$\begin{cases}b=-2a \\4ac=4a(5+a)\end{cases}\rightarrow$
$\begin{cases}b=-2a \\c=5+a\end{cases}$
Sostituiamo nell'equazione generale della parabola
$y=ax^2-2ax+5+a $ (1)
Ora troviamo i punti di intersezione della parabola con la retta data:
$ \begin{cases}y=ax^2-2ax+5+a \\y-4×+1=0\end{cases} $
$ \begin{cases}y=ax^2-2ax+5+a \\y=4x-1\end{cases} $
per confronto :
$ ax^2-2ax+5+a = 4x-1$
$ ax^2-2ax-4x+5+a +1= 0$
$ ax^2+(-2a-4)x+a+6= 0$
Imponiamo che il delta sia zero $(\Delta=0)$:
$\Delta =(-2a-4)^2-4\cdot \left ( a \right )\left ( a+6 \right )=0$
$4a^2+16a+16-4a(a+6)=0$
$4a^2+16a+16-4a^2-24a=0$
$-8a+16=0$
$-8a=-16$
$8a=16$
$a=2$
Sostituiamo il valore di a appena trovato nella (1), ottenendo:
$y=2x^2-2(2)x+5+2 $
$y=2x^2-4x+7 $
che è la parabola cercata.
saluti ?