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[Risolto] Esercizio equazione della parabola

  

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Trova l'equazione della parabola con asse di simmetria  parallelo all'asse y con vertice di coordinate  v(1;5) e tangente alla retta di equazione y-4×+1 

Autore

@clara666 ma l'equazione della retta è y-4x+1=0?

 

1 Risposta



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Ciao,

Una parabola avente asse di simmetria parallelo all'esse y ha equazione generica:

$y=ax^2+bx+c $

 

Dalle coordinate del vertice  avente asse di simmetria parallelo all'asse y :

$x_{V}=-\frac{b}{2a}$

$y_{V}=-\frac{\Delta b}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Ricaviamo due condizioni:

$-\frac{b}{2a}=1$

$-\frac{b^2-4ac}{4a}=5 $

Mettiamo a sistema:

$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1 \\-\frac{b^2-4ac}{4a}=5\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}b=-2a \\-\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=5\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}b=-2a \\-\frac{4a^2-4ac}{4a}=5\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}b=-2a \\-4a^2+4ac=20a\end{cases}\rightarrow $

$\begin{cases}b=-2a \\4ac=20a+4a^2\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}b=-2a \\4ac=4a(5+a)\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}b=-2a \\c=5+a\end{cases}$

 

Sostituiamo nell'equazione generale della parabola

$y=ax^2-2ax+5+a $  (1)

 

Ora troviamo i punti di intersezione della parabola con la retta data:

$ \begin{cases}y=ax^2-2ax+5+a  \\y-4×+1=0\end{cases} $

$ \begin{cases}y=ax^2-2ax+5+a  \\y=4x-1\end{cases} $

per confronto :

$ ax^2-2ax+5+a = 4x-1$

$ ax^2-2ax-4x+5+a +1= 0$

$ ax^2+(-2a-4)x+a+6= 0$

 

Imponiamo che il delta sia zero $(\Delta=0)$:

$\Delta =(-2a-4)^2-4\cdot \left ( a \right )\left ( a+6 \right )=0$

$4a^2+16a+16-4a(a+6)=0$

$4a^2+16a+16-4a^2-24a=0$

$-8a+16=0$

$-8a=-16$

$8a=16$

$a=2$

 

Sostituiamo il valore di a appena trovato nella (1), ottenendo:

$y=2x^2-2(2)x+5+2 $ 

$y=2x^2-4x+7 $ 

che è la parabola cercata.

 

saluti ? 



Risposta
SOS Matematica

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