Un rombo ha i vertici nei punti medi dei lati di un rettangolo la cui area è 676 cm². Sapendo che le diagonali del rombo sono una 1/4 altra, calcola la loro misura.
Per risolvere il problema, dobbiamo determinare le lunghezze delle diagonali del rombo, dato che i vertici del rombo sono nei punti medi dei lati di un rettangolo di area 676 cm², e che le diagonali del rombo sono in rapporto 1:4.
Passaggio 1: Trovare le dimensioni del rettangolo
Sappiamo che l'area del rettangolo è 676 cm². Se denotiamo con aa e bb le lunghezze dei lati del rettangolo, l'area del rettangolo è data dalla formula:
a⋅b=676a \cdot b = 676
Da questa formula possiamo esprimere una delle dimensioni in funzione dell'altra. Ad esempio, supponiamo che a=676ba = \frac{676}{b}.
Passaggio 2: Relazione tra il rettangolo e il rombo
Poiché il rombo ha i vertici nei punti medi dei lati del rettangolo, le diagonali del rombo corrispondono alle diagonali del rettangolo. Le diagonali del rombo sono i segmenti che congiungono i punti medi dei lati del rettangolo, quindi le diagonali del rombo sono più corte delle diagonali del rettangolo stesso.
Se le diagonali del rombo sono d1d_1 e d2d_2, allora possiamo osservare che la relazione tra le diagonali del rombo e le diagonali del rettangolo è la seguente:
d1=a2,d2=b2d_1 = \frac{a}{2}, \quad d_2 = \frac{b}{2}
Passaggio 3: Condizione sul rapporto delle diagonali
Sappiamo che le diagonali del rombo sono in un rapporto 1:4, quindi:
d1=14d2d_1 = \frac{1}{4} d_2
Sostituendo le espressioni per d1d_1 e d2d_2 in termini di aa e bb, otteniamo:
a2=14⋅b2\frac{a}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{b}{2}
Semplificando:
a=14ba = \frac{1}{4} b
Passaggio 4: Risolvere il sistema di equazioni
Ora abbiamo il sistema di equazioni:
- a⋅b=676a \cdot b = 676
- a=14ba = \frac{1}{4} b
Sostituendo a=14ba = \frac{1}{4} b nella prima equazione:
14b⋅b=676\frac{1}{4} b \cdot b = 676 14b2=676\frac{1}{4} b^2 = 676 b2=2704b^2 = 2704 b=2704=52b = \sqrt{2704} = 52
Ora che abbiamo b=52b = 52, possiamo trovare aa usando a=14ba = \frac{1}{4} b:
a=14⋅52=13a = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13
Passaggio 5: Calcolare le diagonali del rombo
Le diagonali del rombo sono:
d1=a2=132=6.5 cmd_1 = \frac{a}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{cm} d2=b2=522=26 cmd_2 = \frac{b}{2} = \frac{52}{2} = 26 \, \text{cm}
Risultato finale
Le diagonali del rombo sono:
d1=6.5 cmed2=26 cm.d_1 = 6.5 \, \text{cm} \quad \text{e} \quad d_2 = 26 \, \text{cm}.
