Qualcuno può aiutarmi con questo?
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Equazione degli asintoti di un generico iperbole di centro (xC;yC)
y-yC = ± (b/a) *(x-xC)
Essendo i due asintoti rette passanti per l'origine degli assi cartesiani il centro della conica è C(0;0)
Inoltre: b/a=1/2 => a²=4b²
L'appartenenza dei punti A e B alla conica permette di dire che A è un punto di un iperbole con asse traverso e fuochi sull'asse x ;B è un punto di un iperbole con asse traverso e fuochi sull'asse y
A€ conica => a²=5, b²=5/4
x²/5 - y²/(5/4) = 1
F12= [±radice (a²+b²) ; 0]
B€conica => a²=12, b²=3
x²/12 - y²/3 = - 1
F12= [0; ±radice (a²+b²)]
Non credo tu abbia problemi a calcolare vertici e fuochi.
Con riferimento alla figura su allegata, abbiamo 2 iperboli:
Quella che passa per A(3,1) ed ha equazione del tipo:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
con asse traverso e fuochi sull'asse delle x;
quella che passa per il punto B(2,2) ed ha equazione del tipo:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1
con asse traverso e fuochi sull'asse delle y.
Risolviamo quindi la prima ponendo:
{passaggio per A
{(b/a)^2 =(1/2)^2
quindi scriviamo il sistema (α = a^2; β = b^2) :
{3^2/α - 1^2/β = 1
{β/α = 1/4
risolvendo si ottieni:
[α = 5 ∧ β = 5/4]
quindi l'iperbole: x^2/5 - 4·y^2/5 = 1
Nello stesso modo:
{2^2/α - 2^2/β = -1
{β/α = 1/4
fornisce: [α = 12 ∧ β = 3]
quindi l'iperbole: x^2/12 - y^2/3 = -1
per la prima:
per la seconda: