[Risolto] Un’impresa edile deve costruire una strada che colleghi tra loro due piccoli paesi..

Con riferimento alla figura su allegata:

y = 2·√(3^2 + (4 - x)^2) + x

y = 2·√(x^2 - 8·x + 25) + x = percorso complessivo

con 0 < x < 4

Applico le C.N. per il minimo percorso: y'=dy/dx=0

(√(x^2 - 8·x + 25) + 2·(x - 4))/√(x^2 - 8·x + 25) = 0

Con denominatore sempre >0:

√(x^2 - 8·x + 25) + 2·(x - 4) = 0

√(x^2 - 8·x + 25) = 8 - 2·x

(√(x^2 - 8·x + 25) = 8 - 2·x)^2

x^2 - 8·x + 25 = 4·(x - 4)^2

x^2 - 8·x + 25 = 4·x^2 - 32·x + 64

3·x^2 - 24·x + 39 = 0

x^2 - 8·x + 13 = 0

Risolvo ed ottengo:

x = (4 - √3) km  ∨ x = (√3 + 4) km

Si scarta la seconda, quindi:

x = 2.268 km 

CH ottimale è circa 2.268 m (2,27 km) per uno sviluppo complessivo di 9.196 m (9,20 km)

Misure in chilometri.
Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB con lati obliqui AC e BC; si ha
* |AB| = b = 6
* |AC| = |BC| = L = 5
* h = √(L^2 - (b/2)^2) = 4
------------------------------
In un riferimento Oxy ortogonale levogiro e monometrico in chilometri, definisco
* A(- 3, 0), B(3, 0), C(0, 4), H(0, 4 - k), (0 < k < 4)
da cui
* |HA| = |HB| = √((k - 4)^2 + 9)
* |HC| = k
* |HA| + |HB| + |HC| = f(k) = k + 2*√((k - 4)^2 + 9) >= f(4 - √3) = 4 + 3*√3 ~= 9.196
* k = 4 - √3 ~= 2.2679 ~= 2.3
------------------------------
DETTAGLI
---------------
Se esiste almeno un valore reale di k che minimizzi f(k) esso deve soddisfare alla condizione di minimo relativo
* (f'(k) = 0) & (f''(k) > 0)
---------------
* f'(k) = D[k + 2*√((k - 4)^2 + 9)] = 2*(k - 4)/√((k - 4)^2 + 9) + 1
* (2*(k - 4)/√((k - 4)^2 + 9) + 1 = 0) & (0 < k < 4) ≡
≡ (√((k - 4)^2 + 9) = 2*(4 - k)) & (0 < k < 4) ≡
≡ ((k - 4)^2 + 9 - (2*(4 - k))^2 = 0) & (0 < k < 4) ≡
≡ (k^2 - 8*k + 13 = 0) & (0 < k < 4) ≡
≡ ((k = 4 - √3) oppure (k = 4 + √3)) & (0 < k < 4) ≡
≡ k = 4 - √3
stanti l'unicità della soluzione e la natura geometrica del problema risulta superfluo verificare il segno della derivata seconda.