C'è una "condizione di positività" che non è soddisfatta da quella frazione.
Svolgo solo i passaggi essenziali a mostrare questo.
5 - 1/3 sqrt ( 8 - x ) = sqrt ( 3x + 19 )
15 - sqrt( 8 - x ) = 3 sqrt ( 3x + 19 )
ha le ben note condizioni di esistenza 8 - x >= 0 e 3x + 19 >= 0
che si compendiano in -19/3 <= x <= 8, come sicuramente hai già trovato
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3 sqrt (3x + 19) + sqrt ( 8 - x ) = 15
che non richiede osservazioni aggiuntive perchè 15 è positivo.
Passi ai quadrati e riduci :
9 ( 3x + 19 ) + 8 - x + 6 sqrt [ (3x + 19)( 8 - x) ] = 225
27x + 171 + 8 - x + 6 sqrt ( 24x - 3x^2 + 152 - 19 x ) = 225
26 x + 179 + 6 sqrt ( - 3x^2 + 5x + 152 ) = 225
6 ( - 3x^2 + 5x + 152 ) = 46 - 26 x
ed ecco il punto nodale : per la convenzione sui radicali, per avere questa uguaglianza
deve essere 46 - 26 x >= 0 => 26 x <= 46 => x <= 23/13
che combinata per intersezione con le condizioni già trovate fornisce
- 19/3 <= x <= 23/13.