$$ y = \frac{3-x^2}{x+1}$$
Il dominio è tutto R tranne -1 Vero.
Le intersezioni mi vengono a(0;3) b(+ –1,73;0) Vero.
La derivata prima mi viene y'= -x²-2x-3/(x+1)² Vero.
La derivata seconda ho provato a farla in due modi e non so quale sia quello corretto.
In uno mi viene y"=-2x+4/(x+1)⁴ e nell'altra y"= 4/(x+1)⁴
Calcoliamo la derivata seconda ( Indichiamo con $D(.....)$ l'operazione di derivata):
y'' $= \frac{D(-x^2-2x-3) \cdot (x+1)^2-(-x^2-2x-3) \cdot D( (x+1)^2 )}{(x+1)^4} $
$ = \frac{(-2x-2) \cdot (x+1)^2-(-x^2-2x-3)2(x+1)}{(x+1)^4} = $
$=\frac{4x+4}{(x+1)^4} = \frac{4}{(x+1)^3}$
Quindi ha concavità positiva per $x > -1$ e concavità negativa per $x < -1 $.
La positività della funzione la calcoliamo facendo:
$ \frac{3-x^2}{x+1} \geq 0 $
$N : 3-x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} $
$D: x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 $
Facendo la tabella dei segni :
è positiva per $ x < \sqrt{3} \vee -1 < x < \sqrt{3}$
è negativa per $ -\sqrt{3} < x < -1 \vee x > \sqrt{3} $
è nulla nell'intersezione con l'asse $x$, cioè $ x = \pm \sqrt{3}$