Un serbatoio a forma di semisfera, di raggio $20 \mathrm{~m}$, viene riempito di acqua alla velocità di $25 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{min}$. A quale velocità sta crescendo il livello dell'acqua nel serbatoio, quando l'altezza dell'acqua è a $10 \mathrm{~m}$ dal fondo?
(Suggerimento: ricorda che il volume di un segmento sferico di altezza $h$, appartenente a una sfera di raggio $r$, è $\left.\frac{\pi h^2}{3}(3 r-h)\right)$
16
punti
Livello 0
CC' = 10 m
Q = 25.000/60 = 2.500 /6 = 1.250/3 = litri / s
Area A' = 3,1416*20^2-10^2 = 942,8 m^2 = 94.280 dm^2
Δh = Q/A = 1.250 dm^3/s /(3*94.280 dm^2) = 0,00442 dm/s = 0,442 mm/s
113975
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Genius II
V = pi h^2/3 (3r - h)
V = pi/3 ( 3r h^2 - h^3 )
derivando rispetto a t e applicando la regola
delle funzioni composte
dV/dt = pi/3 ( 3r * 2h dh/dt - 3 h^2 dh/dt ) =
= pi (2 rh - h^2 ) dh/dt
25 m^3 / min = ( 2 * 20 * 10 - 10^2 ) m^2 * dh/dt
25/300 m/min = dh/dt
dh/dt = 1/12 m/min
47706
punti
Livello 7
@eidosm 1/(12*60) m/s*942,8 m^2 = 1,32 m^3/s >> 0,417 m^3/s
