Un quadrilatero convesso $O A B C$, essendo $O$ l'origine del sistema di riferimento, è tale che: $A(4,0), C(0,2)$ e $B$ appartiene al primo quadrante. Sapendo che l'area del quadrilatero è 10 e che $\overline{B C}=2 \sqrt{2}$, determina le coordinate di $B$.
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Livello 0
Il punto B sta sull'arco di circonferenza del 1° quadrante:
x^2 + (y - 2)^2 = (2·√2)^2
x^2 + (y - 2)^2 = 8------> x^2 + y^2 - 4·y - 4 = 0
Risolta in x: x = - √(- y^2 + 4·y + 4) ∨ x = √(- y^2 + 4·y + 4)
Si prende la seconda soluzione perché appunto del 1° quadrante (in grassetto)
Quindi il punto B avrà coordinate:[√(- y^2 + 4·y + 4), y]
Quindi:
[0, 0]
[4, 0]
[√(- y^2 + 4·y + 4), y]
[0, 2]
[0, 0] (per chiudere il poligono)
Formula per il calcolo dell'area A:
Α = 1/2·ABS(0·0 + 4·y + √(- y^2 + 4·y + 4)·2 + 0·0+
- (0·2 + 0·y + √(- y^2 + 4·y + 4)·0 + 4·0))
Α = 1/2·ABS(2·√(- y^2 + 4·y + 4) + 4·y)
Essendo del ° quadrante, possiamo eliminare il valore assoluto
√(- y^2 + 4·y + 4) = 10 - 2·y
Risolvendo si ottiene:
y = 24/5 ∨ y = 4
90143
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Genius II
Secondo la triangolazione indotta dalla linea AC tratteggiata l'area S(OABC) = 10 si partizione in
* S(CAO) = 4*2/2 = 4
* S(BAC) = S(OABC) - S(CAO) = 10 - 4 = 6
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Con
* il segmento AC di lunghezza |AC| = 2*√5 e giacente sulla retta y = 2 - x/2 di pendenza m = - 1/2
* S(BAC) = |AC|*h/2 = 6 ≡ h = 12/|AC| = 6/√5
si ha che B deve cadere sulla parallela p a distanza h da AC che la sovrasti
* p ≡ y = 5 - x/2
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Secondo |BC| = 2*√2 si ha che B deve cadere sulla circonferenza Γ di centro C(0, 2) e raggio |BC|
* Γ ≡ x^2 + (y - 2)^2 = (2*√2)^2
quindi B può solo essere un eventuale punto reale comune a p e Γ
* (y = 5 - x/2) & (x^2 + (y - 2)^2 = (2*√2)^2) ≡ B1(2/5, 24/5) oppure B2(2, 4)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D5-x%2F2%2Cx%5E2%3D8-%28y-2%29%5E2%5Dx%3D0to4%2Cy%3D0to5
57171
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Genius I
