Un Esercizio Su Parabole

y = ax^2 + bx + c, passa in A = (2; - 7); sostituiamo le coordinate di A in x e in y:

- 7 = a * 2^2 + b * 2 + c;

- 7 = 4a + 2b + c;

Vertice: coordinate;

V = ( x; y); V = (4; 1)

 x = - b/ 2a;    y = (- b^2 + 4ac)/ 4a; 

coordinate del vertice della parabola: y = ax^2 + bx + c

- b / 2a = 4;  (x del vertice);    (1)

(- b^2 + 4ac) / 4a = 1;  ( y del vertice);  (2)

- 7 = 4a + 2b + c;  (3),  tre equazioni in tre incognite;

dalla (1) ricaviamo b:

  b = - 8a;  (1)    sostituiamo b  nella (2)

- (-8a)^2 + 4ac = 4a; (2)

- 64a^2 + 4ac = 4a;  (2)

- 64a + 4c  = 4 ;  ricaviamo c;

- 16a + c = 1;  (2)

c = 1 + 16a ; (2)

b = - 8a ;  (1)

c = 1 + 16a ; (2)

- 7 = 4a + 2b + c;  (3);

- 7 = 4a + 2 * (- 8a)  + (1 + 16a);  (3)

- 7 = 4a - 16a + 1 + 16a;  (3)

4a = - 7 - 1;

a = - 8/4 = - 2;

b = - 8 * (- 2) = + 16;

c =1 + 16 * (-2) = - 31;

y = - 2 x^2 + 16x - 31; equazione della parabola.

Ciao  @agent017_g

y - 1 = a(x - 4)^2     condizione sul vertice

-7 - 1 = a(2 - 4)^2    condizione di appartenenza 

-8 = 4a

a =-2

Sostituendo e sviluppando

y -  1 = -2(x^2 -8x +16

e in forma normale 

y = -2x^2 + 16x - 31

• $y = ax^2+bx+c \quad \implies \quad $ asse di simmetria parallelo all'asse delle y
• Vertice V(4, 1) significa che l'asse di simmetria ha equazione x = 4 ovvero $ 4 = -\frac{b}{a}$
• Impongo il passaggio per V(4,1) e per A(2, -7) e ottengo un sistema di 3 equazioni nelle incognite a, b, c.
• Ecco il sistema

$ \left\{\begin{aligned} -4a &= b \quad \text {asse di simmetria}\\ 16a+4b+c &= 1 \quad \text {passa per V(4, 1)} \\ 4a+2b+c&=-7 \quad \text {passa per A(2, -7)} \end{aligned} \right.$

Il sistema ammette come unico soluzione a = -2, b = 16, c = -31