[Risolto] Trovare massimi e minimi della funzione con il metodo di Lagrange

Ciao,

Sia $f(x,y)=x+y$

Chiamiamo il vincolo $g(x,y)=xy-1=0$

Il gradiente di $g$ è $\nabla g(x,y)=(g_{x},g_{y})=(y,x)$ che si annulla in  (0,0) quesro punto è da scartare perché non rispetta il vincolo 

Scriviamo la Lagrangia della funzione:

$L(x,y,\lambda)= f(x,y)-\lambda g(x,y)$

$L(x,y,\lambda)= x+y-\lambda(xy-1)$

Calcoliamo le derivate parziali della lagrangiana:

$L_{x}=1-\lambda y$

$L_{y}=1-\lambda x$

$L_{\lambda}=1-xy$

Imponiamo che siano uguali a zero

$1-\lambda y=0$

$1-\lambda x=0$

$1-xy=0$

Da cui moltiplicando le prime due tra loro otteniamo:

$\lambda^2 xy=1$

Sostituendo nell'ultima:

Otteniamo: $\lambda=\pm1$

Per la $\lambda=1$

$x=1$  e $y=1$

Per la $\lambda=-1$

Otteniamo 

$x=-1$ e $y=-1$

Abbiamo quindi due punti stazionari:

$P_{1}=(1,1)$

$P_{2}=(-1,-1)$

Sostituiamo nella funzione.

$f(1,1)=2$

$f(-1,-1)=-2$

Che sono rispettivamente massimo e minimo della funzione.

🙂