Trovare l'equazione della circonferenza, 3 anno scientifico

In realtà ce ne sono due che passano per il punto A e tangenti alle due rette per l'origine.

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

4^2 + 2^2 + a·4 + b·2 + c = 0 passa per [4, 2]

4·a + 2·b + c = -20

tangenza alla retta y = 1/3·x

{x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{y = 1/3·x

x^2 + (1/3·x)^2 + a·x + b·(1/3·x) + c = 0

10·x^2/9 + x·(a + b/3) + c = 0

Δ = 0

(a + b/3)^2 - 40/9·c = 0

a^2 + 2·a·b/3 + (b^2 - 40·c)/9 = 0

tangenza alla retta y = 3·x

{x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{y = 3·x

x^2 + (3·x)^2 + a·x + b·(3·x) + c = 0

10·x^2 + x·(a + 3·b) + c = 0

Δ = 0

(a + 3·b)^2 - 40·c = 0

a^2 + 6·a·b + 9·b^2 - 40·c = 0

Risolvi il sistema delle tre equazioni in grassetto ed ottieni:

[a = -5 ∧ b = -5 ∧ c = 10, a = -10 ∧ b = -10 ∧ c = 40 ]

quindi due circonferenze:

x^2 + y^2 - 5·x - 5·y + 10 = 0

x^2 + y^2 - 10·x - 10·y + 40 = 0

Analisi del problema
Dall'immagine fornita, abbiamo le seguenti informazioni:
* Due rette tangenti alla circonferenza:
* r: y = (1/3)x
* s: y = 3x
* Un punto sulla circonferenza: A(4, 2)
* Equazione generale della circonferenza: x² + y² - 5x - 5y + 10 = 0
Passaggi per trovare l'equazione della circonferenza
* Verifichiamo se il punto A appartiene alla circonferenza:
Sostituiamo le coordinate del punto A(4, 2) nell'equazione generale della circonferenza:
(4)² + (2)² - 5(4) - 5(2) + 10 = 16 + 4 - 20 - 10 + 10 = 0
Poiché l'equazione è soddisfatta, il punto A appartiene alla circonferenza.
* Troviamo il centro della circonferenza:
L'equazione generale della circonferenza è data da:
x² + y² + ax + by + c = 0
Il centro della circonferenza ha coordinate:
C(-a/2, -b/2)
Nel nostro caso, l'equazione è:
x² + y² - 5x - 5y + 10 = 0
Quindi, a = -5 e b = -5.
Le coordinate del centro sono:
C(-(-5)/2, -(-5)/2) = C(5/2, 5/2)
* Troviamo il raggio della circonferenza:
Il raggio della circonferenza è la distanza tra il centro C e il punto A.
Utilizziamo la formula della distanza tra due punti:
r = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
r = √[(4 - 5/2)² + (2 - 5/2)²]
r = √[(3/2)² + (-1/2)²]
r = √(9/4 + 1/4)
r = √(10/4)
r = √(5/2)
* Scriviamo l'equazione della circonferenza:
L'equazione della circonferenza con centro (h, k) e raggio r è:
(x - h)² + (y - k)² = r²
Nel nostro caso, il centro è C(5/2, 5/2) e il raggio è √(5/2).
Quindi, l'equazione della circonferenza è:
(x - 5/2)² + (y - 5/2)² = (√(5/2))²
(x - 5/2)² + (y - 5/2)² = 5/2
Sviluppando l'equazione:
x² - 5x + 25/4 + y² - 5y + 25/4 = 5/2
x² + y² - 5x - 5y + 25/2 = 5/2
x² + y² - 5x - 5y + 20/2 = 0
x² + y² - 5x - 5y + 10 = 0
Conclusione
L'equazione della circonferenza è:
x² + y² - 5x - 5y + 10 = 0