[Risolto] trovare le equazioni delle circonferenze

Le rette assegnate sono parallele fra loro:

y = - 2·x - 2

y = - 2·x + 18

quindi il centro delle due circonferenze si troverà sulla retta:

y = - 2·x + q

tale per cui passi esattamente in mezzo. Quindi con q pari alla media delle due ordinate all'origine:

q = (-2 + 18)/2----> q = 8----> y = - 2·x + 8

Il centro delle due circonferenze avrà quindi coordinate:

[α, β] ----> [α, - 2·α + 8]

Quindi le due circonferenze avranno equazione:

(x - α)^2 + (y - 8 + 2·α)^2 = r^2

con r = raggio (lo stesso per le due)

Dovendo passare per [1, 0] è possibile stabilire :

(1 - α)^2 + (0 - 8 + 2·α)^2 = r^2

5·α^2 - 34·α = r^2 - 65

r = - √(5·α^2 - 34·α + 65) ∨ r = √(5·α^2 - 34·α + 65) 

(scarto la prima)

Quindi metto a sistema una qualsiasi delle due rette date all'inizio con quanto trovato per la circonferenza:

{(x - α)^2 + (y - 8 + 2·α)^2 = 5·α^2 - 34·α + 65

{y = - 2·x - 2

procedendo per sostituzione e sviluppando si ottiene un'equazione di secondo grado nel parametro α:

5·x^2 + 10·x·(4 - α) - 6·α + 35 = 0

a cui applico la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0-------> (5·(4 - α))^2 - 5·(35 - 6·α) = 0

quindi risolvo: 25·α^2 - 170·α + 225 = 0

ed ho: α = 9/5 ∨ α = 5

per α = 9/5

(x - 9/5)^2 + (y - 8 + 2·(9/5))^2 = 5·(9/5)^2 - 34·(9/5) + 65

(x - 9/5)^2 + (y - 22/5)^2 = 20

per α = 5

analogamente: (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 20

I centri delle circonferenze sono sulla retta equidistante dalle due rette date. La sua equazione è 

y= - 2x+8

Le due rette distano tra loro: d= 4*radice (5)

Tale distanza rappresenta il diametro delle due circonferenze. 

I centri hanno coordinate (k; - 2k+8)

Imponendo la condizione che la distanza centro - punto (1;0) sia uguale al raggio (R= 2*radice 5) determino le coordinate di C1 ; C2

(k-1)²+(8-2k)² = 20

Da cui si ricava:

K=9/5 ; k1=5

 I due centri sono:

C1= (9/5;22/5) , R=2 *radice ( 5) 

C2 = (5; -2) , R=2* radice (5)

Le equazioni delle coniche sono:

(x-9/5)²+(y-22/5)²=20

(x-5)²+(y+2)²=20