Le rette assegnate sono parallele fra loro:
y = - 2·x - 2
y = - 2·x + 18
quindi il centro delle due circonferenze si troverà sulla retta:
y = - 2·x + q
tale per cui passi esattamente in mezzo. Quindi con q pari alla media delle due ordinate all'origine:
q = (-2 + 18)/2----> q = 8----> y = - 2·x + 8
Il centro delle due circonferenze avrà quindi coordinate:
[α, β] ----> [α, - 2·α + 8]
Quindi le due circonferenze avranno equazione:
(x - α)^2 + (y - 8 + 2·α)^2 = r^2
con r = raggio (lo stesso per le due)
Dovendo passare per [1, 0] è possibile stabilire :
(1 - α)^2 + (0 - 8 + 2·α)^2 = r^2
5·α^2 - 34·α = r^2 - 65
r = - √(5·α^2 - 34·α + 65) ∨ r = √(5·α^2 - 34·α + 65)
(scarto la prima)
Quindi metto a sistema una qualsiasi delle due rette date all'inizio con quanto trovato per la circonferenza:
{(x - α)^2 + (y - 8 + 2·α)^2 = 5·α^2 - 34·α + 65
{y = - 2·x - 2
procedendo per sostituzione e sviluppando si ottiene un'equazione di secondo grado nel parametro α:
5·x^2 + 10·x·(4 - α) - 6·α + 35 = 0
a cui applico la condizione di tangenza:
Δ/4 = 0-------> (5·(4 - α))^2 - 5·(35 - 6·α) = 0
quindi risolvo: 25·α^2 - 170·α + 225 = 0
ed ho: α = 9/5 ∨ α = 5
per α = 9/5
(x - 9/5)^2 + (y - 8 + 2·(9/5))^2 = 5·(9/5)^2 - 34·(9/5) + 65
(x - 9/5)^2 + (y - 22/5)^2 = 20
per α = 5
analogamente: (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 20