IO LA PAZIENZA CE L'HO, MA TI SARA' ANCORA UTILE A TREDICI ORE DALLA DOMANDA?
Per "esplicitare tutto l'iter" la prima fase è capire che cosa intende l'esercizio e saperlo classificare come istanza di un preciso problema.
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La prima frase
* "Determiniamo il codominio della funzione y = x^2 - 4*x + 2"
è assai infelice perché la funzione y = f(x) è un polinomio e, come qualsiasi altro polinomio, ha come codominio il più ricco insieme numerico fra quelli che sono dominio dei coefficienti e delle variabili; in questo polinomio c'è una sola variabile, la x, e i coefficienti sono interi (1, - 4, 2); quindi se il dominio di x sono i naturali allora il codominio sono gl'interi, altrimenti il codominio è il dominio di x.
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La seconda frase che non ricopio chiarisce l'equivoco ("trovare ... immagine", "coincide con R"): anche questo Autore, come tanti altri chiama "dominio" il "domain" che, in Italiano, si chiama "insieme di definizione reale" (sottinsieme del dominio) e chiama "codominio" il "range" che, in Italiano, si chiama "insieme immagine" (sottinsieme del codominio).
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Se l'Autore aveesse studiato sul Picone-Fichera (l'ultimo grande trattato di Analisi scritto negli anni '50 da italiani che pensavano in Italiano) le due prime frasi si sarebbero fuse in una sola, ma scritta per bene.
* "Determiniamo l'insieme immagine della funzione della variabile reale x 'y = x^2 - 4*x + 2' che, in quanto polinomio, è definita reale sull'intero dominio."
Con questa formulazione l'esercizio è definito senza equivoci terminologici e lo si classifica come istanza del problema di trovare i valori estremi (minimi, massimi, limiti) di una funzione o dimostrarne l'inesistenza.
In questa istanza la funzione è un polinomio reale di grado due.
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La seconda fase dell'iter è la risoluzione del problema di trovare, o dimostrare l'inesistenza, dei valori estremi di un polinomio di grado due.
Lo studio di questa categoria di polinomi, iniziato dagli scribi babiilonesi (38 secoli fa), è stato sistematizzato dall'indiano Bramegupta solo nel VII secolo (ci son voluti 2500 anni di matematica), quindi non c'è da stupirsi se tu che sei alle prime armi "non riesci a capire i passaggi" di questo specifico problema: te li mostro qui di seguito.
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Ogni polinomio a coefficienti reali di grado due nella variabile reale x si può ridurre alla forma
* p(x) = a*x^2 + b*x + c = a*(x^2 - s*x + p)
cioè al prodotto fra un coefficiente direttore non nullo "a", detto "apertura", e un trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p
dove
* s = - b/a
* p = c/a
Il polinomio p(x) ha un solo estremo la cui natura dipende dal segno dell'apertura:
* se a < 0 allora p(x) ha un massimo ed è illimitato inferiormente;
* se a > 0 allora p(x) ha un minimo ed è illimitato superiormente.
Nel caso dell'esercizio si ha
* a = + 1
* T(x) = y = x^2 - 4*x + 2
* s = 4
* p = 2
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La valutazione dell'estremo si conduce su T(x) con un paio di passaggi.
Completare il quadrato dei termini variabili
* x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2
* x^2 - 4*x = (x - 4/2)^2 - (4/2)^2 = (x - 2)^2 - 2^2
Sostituire e ridurre
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = (x - s/2)^2 + p - (s/2)^2
* y = x^2 - 4*x + 2 = (x - 2)^2 - 2^2 + 2 = (x - 2)^2 - 2
Da quest'ultima forma
* T(x) = (x - s/2)^2 + p - (s/2)^2
* y = (x - 2)^2 - 2
si vede che la funzione è la somma fra un quadrato (non negativo in quanto tale) e una costante che rappresenta il valor minimo della funzione assunto per il valore di x che azzera il quadrato. Quindi
* per x = s/2 l'insieme immagine è: T(x) >= p - (s/2)^2;
* per x = 2 l'insieme immagine è: y >= - 2.
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Ovviamente, se l'apertura "a" è negativa allora "a*(p - (s/2)^2)" è un massimo e non un minimo e l'insieme immagine è: T(x) <= a*(p - (s/2)^2).
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OSO SPERARE CHE A QUESTO PUNTO TI RISULTI "esplicito tutto l'iter".
