Calcola il volume del solido, avente come base il segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione $y=2 x-x^2$ e dall'asse $x$, le cui sezioni con piani perpendicolari all'asse $x$ sono quadrati.
Ciao, qualcuno sa dirmi come dovrei interpretare nel disegno l'ultima parte del testo? ("...le cui sezioni con piani perpendicolari all'asse x sono quadrati)
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Livello 0
Il solido che ottieni è composto da infinite lamelle (in rosso in figura) quadrate di cui poi dovrai fare la somma (integrale):
La base di ogni singola lamella quadrata vale:
y^2 = (- x^2 + 2·x)^2
quindi la lamella elementare ha volume:
(- x^2 + 2·x)^2·dx = dV
Quindi devi fare l'integrale:
∫((- x^2 + 2·x)^2dx = x^3·(3·x^2 - 15·x + 20)/15
valutato da:
x = 0 ad x = 2
2^3·(3·2^2 - 15·2 + 20)/15 = 16/15
0^3·(3·0^2 - 15·0 + 20)/15 = 0
16/15 - 0 = 16/15
è il volume richiesto
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Genius II
Significa questo : il lato di ogni sezione é L(x) = |y2 - y1| = |2x - x^2 - 0| = 2x - x^2
https://www.desmos.com/calculator/oqafxh3hvh
come illustrato nella figura, per 0 <= x <= 2.
S(x) = L^2(x) é l'area della sezione per cui il volumetto elementare generato nel
percorso da x a x + dx é dV = (2x - x^2)^2 dx = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx
e infine V = S_[0,2] (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx = [x^5/5 - x^4 + 4/3 x^3]_[0,2] =
= (32/5 - 16 + 32/3) = 16 (2/5 + 2/3 - 1) = 16/15 *(6 + 10 - 15) = 16/15.
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Livello 7
