[Risolto] Tronco di Cono

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Dati del cono:

diametro di base $d= 40\,cm;$

altezza $h= 37,5\,cm.$

Dati del tronco di cono sezionando trasversalmente il cono a $15\, cm\, (h_2)$ dal vertice:

altezza $h_1 = h-h_2 = 37,5-15 = 22,5\,cm;$

raggio di base (raggio maggiore) $r_1= \dfrac{d}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\,cm;$

raggio minore $= r_2;$ quindi imposta la seguente proporzione:

$h_2 : r_2 = h : r_1$

$15 : r_2 = 37,5 : 20$

$r_2= \dfrac{15×20}{37,5} = 8\,cm;$

apotema del tronco di cono:

$a= \sqrt{(h_1)^2+(r_1-r_2)^2} = \sqrt{22,5^2+(20-8)^2} = \sqrt{22,5^2-12^2} = 25,5\,cm;$

area laterale:

$Al= a(r_1+r_2)\pi = 25,5(20+8)\pi = 714\pi\,cm^2;$

area totale:

$At= [a(r_1+r_2)+(r_1)^2+(r_2)^2]\pi = [25,5(20+8)+20^2+8^2]\pi = 1178\pi\,cm^2.$

Un cono avente il diametro di base lungo 2R = 40 cm e l'altezza H di 37,5 cm viene sezionato con un piano parallelo alla base e distante x = 15 cm dal vertice del cono. Calcola l'area laterale AL e l'area totale At del tronco di cono cosi ottenuto.

dalla proporzione :

R/H = r/x

si ricava r

r = 15*20/37,5 = 8,00 cm  cm^3

apotema a del cono = √H^2+R^2 = √37,5^2+20^2 = 42,50 cm 

apotema a' del piccolo cono superiore = √x^2+r^2 = √15^2+8^2 = 17,00 cm

area laterale del tronco di cono Altc = π(R*a-r*a') = π*(20*42,5-8*17) = 714π cm^2

area totale At = π(R^2+r^2)+714π = π(714+20^2+8^2) = 1.178π cm^2 (3.698,92)