In un trapezio i lati non paralleli cm 13 e cm 14 e le basi misurano cm 20 e cm 35. Risolvere tutti gli elementi del trapezio e del triangolo che si forma dividendo il punto medio della base minore con gli estremi della base maggiore
In un trapezio i lati non paralleli cm 13 e cm 14 e le basi misurano cm 20 e cm 35. Risolvere tutti gli elementi del trapezio e del triangolo che si forma dividendo il punto medio della base minore con gli estremi della base maggiore
Disse Michele Apicella (dopo averle dato due schiaffoni!)
«Come parla? Come parla? Le parole sono importanti! Chi parla male, pensa male. E vive male. Le parole sono importanti. Trend negativo. Io non parlo così. Io non parlo così!»
all'intervistatrice che parlava male, ma sempre meglio di come tu scrivi!
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"i lati non paralleli cm 13 e cm 14" ORRORE!
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"triangolo che si forma dividendo il punto medio" nemmeno Dalì avrebbe diviso un punto.
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"Trigonometria" e perché mai? Il testo del problema non prescrive metodi.
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Provo a riformulare, intendendo le misure tutte in centimetri.
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Le lunghezze dei lati del trapezio ABCD sono
* a = |AB| = 35 = base maggiore
* b = |BC| = 14 = obliquo destro
* c = |CD| = 20 = base minore
* d = |DA| = 13 = obliquo sinistro
Gli angoli interni ai vertici (A, B, C, D) hanno ampiezze (α, β, γ, δ).
Nomino anche lunghezze di altri segmenti, potenzialmente utili,
* c/2 = 10 = |DM| = |MC| = |PQ| = |QR|
* h = |DP| = |MQ| = |CR|
* p = |AP|
* q = |AQ|
* r = |RB|
* s = |QB|
* x = |MA|
* y = |MB|
che si riferiscono ai punti
* M: punto medio del segmento BC
* P, Q, R: piedi su AB delle altezze abbassate da D, M, C
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Si chiede di determinare
* le lunghezze (x, y)
* le ampiezze (α, β, γ, δ)
* le ampiezze degli angoli interni del triangolo ABM
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Inizio cercando la posizione di Q, l'altezza e i due sbracci di AB
* (q = p + c/2) & (p + r = a - c) & (d^2 = h^2 + p^2) & (b^2 = h^2 + r^2) ≡
≡ (h^2 = b^2 - (((a - c)^2 + b^2 - d^2)/(2*(a - c)))^2) &
& (p = ((a - c)^2 - b^2 + d^2)/(2*(a - c))) &
& (q = (a*(a - c) - b^2 + d^2)/(2*(a - c))) &
& (r = ((a - c)^2 + b^2 - d^2)/(2*(a - c))) ≡
≡ (h^2 = 14^2 - (((35 - 20)^2 + 14^2 - 13^2)/(2*(35 - 20)))^2) &
& (p = ((35 - 20)^2 - 14^2 + 13^2)/(2*(35 - 20))) &
& (q = (35*(35 - 20) - 14^2 + 13^2)/(2*(35 - 20))) &
& (r = ((35 - 20)^2 + 14^2 - 13^2)/(2*(35 - 20))) ≡
≡ (h = 56/5) & (p = 33/5) & (q = 83/5) & (r = 42/5)
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* s = r + c/2 = 92/5
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Il passo successivo è la ricerca delle misure di AM e MB.
* x^2 = h^2 + q^2 = (56/5)^2 + (83/5)^2 ≡ x = √401 ~= 20.02
* y^2 = h^2 + s^2 = (56/5)^2 + (92/5)^2 ≡ y = 4*√29 ~= 21.54
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Con ciò si conclude la determinazione delle lunghezze d'interesse
|AB| = a = 35; |AD| = d = 13; |AM| = x = √401;
|BC| = b = 14; |BM| = y = 4*√29;
|CM| = c/2 = 10;
|DM| = c/2 = 10.
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Il terzo passo è la risoluzione di tre istanze dello stesso problema: determinare le ampiezze degli angoli interni di un triangolo di cui sono date le lunghezze dei lati.
* triangolo ADM: lati (c/2, d, x) = (10, 13, √401).
* triangolo ABM: lati (x, y, a) = (√401, 4*√29, 35).
* triangolo BCM: lati (c/2, b, y) = (10, 14, 4*√29).
La risoluzione consiste nell'applicare due volte il teorema di Carnot per trovare i coseni di due angoli e poi calcolare il terzo come differenza fra un piatto e la somma dei due arcocoseni.
Te ne mostro solo uno, gli altri due calcoli sono del tutto simili.
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Triangolo ABM: lati (x, y, a) = (√401, 4*√29, 35); angoli (α', β', μ).
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* cos(α') = (x^2 + a^2 - y^2)/(2*a*x) =
= ((√401)^2 + 35^2 - (4*√29)^2)/(2*35*√401) = 83/(5*√401)
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* cos(β') = (y^2 + a^2 - x^2)/(2*a*y) =
= ((4*√29)^2 + 35^2 - (√401)^2)/(2*35*4*√29) = 23/(5*√29)
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* α' = arccos(83/(5*√401)) ~= 0.5935 rad ~= 34° 0' 26.97''
* β' = arccos(23/(5*√29)) ~= 0.5468 rad ~= 31° 19' 43.29''
* μ = π - (arccos(83/(5*√401)) + arccos(23/(5*√29))) ~=
~= 2.0013 rad ~= 114° 39' 49.73''
Verifica
* (34° 0' 26.97'') + (31° 19' 43.29'') + (114° 39' 49.73'') =
= 179° 59' 59.99'' ~=
~= 180° a meno di un centesimo di secondo.
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Dagli altri due calcoli ricavi (α'', β'').
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Il passo quarto e finale è il calcolo di (α, β) come somma delle ampiezze trovate.
h^2 = 14^2 - x^2
h^2 = 13^2 - y^2;
14^2 - x^2 = 13^2 - y^2;
x + y = 35 - 20 = 15;
x = 15 - y;
196 - (15 - y)^2 = 169 - y^2;
196 - 169 - 225 - y^2 + 30y + y^2 = 0;
- 198 + 30y = 0
y = 198 /30 = 6,6 cm;
x = 15 - 6,6 = 8,4 cm;
h = radice(14^2 - 8,4^2) = radice(125,44) = 11,2 cm; (altezza trapezio e triangolo ABM).
Lato triangolo isoscele AM:
AM = radice(11,2^2 + (35/2)^2) = 20,8 cm.
Area trapezio = (35 + 20) * 11,2/2 = 308 cm^2;
Area triangolo = 35 * 11,2/2 = 196 cm^2,
sen(angolo in A) = h / 14 = 11,2/14 = 0,8;
angolo inA = arcsen(0,8) = 53,13°