Trigonometria 4 liceo scientifico

Il triangolo ABC è un triangolo equilatero. Sfruttiamo quindi il teorema della corda:

" la lunghezza di una corda in una circonferenza è uguale al diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che la formano"

AD = 2·r·SIN(x)

CD = 2·r·SIN(pi/3 - x)

ΒD = 2·r·SIN(pi/3 + x)

Si tratta di dimostrare che:

2·r·SIN(x) + 2·r·SIN(pi/3 - x) = 2·r·SIN(pi/3 + x)

SIN(x) + SIN(pi/3 - x) = SIN(pi/3 + x)

(identità goniometrica)

1° MEMBRO:

SIN(x) + SIN(pi/3)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/3)=

=SIN(x) + √3·COS(x)/2 - SIN(x)/2=

=(√3·COS(x) + SIN(x))/2

2° MEMBRO:

SIN(pi/3)·COS(x) + SIN(x)·COS(pi/3)=

=√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2=

=(√3·COS(x) + SIN(x))/2

Quindi dimostrato.

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f(x)=2·r·SIN(pi/3 - x)/(2·r·SIN(pi/3 + x))

semplifico

f(x)=(SIN(pi/3)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/3))/(SIN(pi/3)·COS(x) + SIN(x)·COS(pi/3))

f(x)=(√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2)/(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)

f = (√3 - TAN(x))/(√3 + TAN(x))

f = 1/2

TAN(x) = t

risolvo:

(√3 - t)/(√3 + t) = 1/2

t = √3/3--> TAN(x) = √3/3---> x = pi/6

Punto a: AD + CD = BD

Gli angoli alla circonferenza: Poiché ABCD è inscritto in una circonferenza, gli angoli opposti sono supplementari. Quindi, angolo BAD = 180 - angolo BCD.

Triangoli isosceli: Dato che AB = BC, il triangolo ABC è isoscele, quindi angolo BAC = angolo BCA = (180 - angolo ABC)/2 = 60 gradi.

Angolo ADC: L'angolo ADC è esterno al triangolo ABC, quindi ADC = BAC + BCA = 120 gradi.

Applicazione del teorema della corda: Sia O il centro della circonferenza. Tracciamo i raggi OA, OB, OC e OD. Consideriamo i triangoli AOD e COD. Entrambi sono isosceli (OA = OD, OC = OD). Applicando il teorema della corda, possiamo scrivere:

AD = 2 * OA * sin(ADC/2) = 2r * sin(60) = r√3

CD = 2 * OC * sin(ACD/2) = 2r * sin(x/2)

BD = 2 * OB * sin(BOD/2) = 2r * sin(120/2) = 2r * sin(60) = r√3

Verifica dell'uguaglianza: Sostituendo i valori trovati, otteniamo: AD + CD = r√3 + 2r * sin(x/2) = BD. Quindi, la prima parte dell'esercizio è dimostrata.

Invece per il secondo punto CD/BD = 1/2

Espressione della funzione f(x):

f(x) = CD/BD = (2r * sin(x/2)) / (r√3) = (2/√3) * sin(x/2)

Risolvendo l'equazione f(x) = 1/2:

(2/√3) * sin(x/2) = 1/2

sin(x/2) = √3/4

Trovando  i valori di x:

x/2 = arcsin(√3/4)

x = 2 * arcsin(√3/4)

La soluzione finale:

La funzione f(x) è data da f(x) = (2/√3) * sin(x/2). Per f(x) = 1/2, si ha x = 2 * arcsin(√3/4).