[Risolto] trigonometria

Cominciamo col dire che il segmento BH ha lunghezza fissata e calcolabile tramite Pitagora sul triangolo OBH:

$BH = r \sqrt{2}$

Così come l'angolo OBH per costruzione misura 45°.

Utilizziamo il teorema dei seni sul triangolo PBH. Detto HPB=x si ha:

$\frac{sin(HPB)}{BH} = \frac{sin(PBH)}{PH}$ 

da cui

$\frac{sin(x)}{r \sqrt{2}} = \frac{sin(45)}{PH}$

Ricaviamo dunque PH in funzione di x:

$PH= \frac{sin45}{sinx} r\sqrt{2} = \frac{r}{sinx} $

Possiamo dunque ricavare tramite Pitagora su OPH la lunghezza di OP:

$OP= \sqrt{PH^2-OH^2} = \sqrt{\frac{r^2}{sin^2x}-r^2} = \frac{r}{sinx} \sqrt{1-sin^2x}= \frac{r}{sinx}  cos x = \frac{r}{tanx}$

Dunque 

$AP= AO+OP = r+ \frac{r}{tanx}$

Da cui ricaviamo che il raggio della semicirconferenza piccola è pari a:

$O'P= AP/2 = \frac{r}{2} + \frac{r}{2tanx}$

dove ho chiamato O' il centro della circonferenza di diametro AP.

Sfruttando il fatto che O'PM è di nuovo un triangolo rettangolo isoscele, avremo che:

$PM = O'P \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} r + \frac{r \sqrt{2}}{2tanx}$

Inoltre anche l'angolo O'PM misura 45° da cui ricaviamo che l'angolo MPH misura:

$MPH= 180 - BPH-O'PM = 180 - x - 45 = 135 -x$

A questo punto possiamo ricavare la lunghezza di MH sfruttando il teorema del coseno sul triangolo MHP:

$MH^2 = PM^2 +PH^2 - 2(PM)(PH)cos(MPH)$

Sostituendo:

$MH^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} r + \frac{r \sqrt{2}}{2tanx})^2 + (\frac{r}{sinx})^2 - 2(\frac{\sqrt{2}}{2} r + \frac{r \sqrt{2}}{2tanx})(\frac{r}{sinx}) cos(135-x)$

Prima di continuare devo chiederti un chiarimento sul valore che deve assumere MH: non capisco se sia una radice cubica, se la frazione è sotto radice, dov'è il quadrato ... 

Aspetto tue notizie!

@luigi2

HPB = x   (P=A) 45 <x< 135 (P=B)

MH è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele avente come cateti la differenza dei raggi. La corda AH forma con il diametro AB un angolo di 45 gradi (ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele avente come cateti i raggi della semicirconferenza più grande).

Quindi  il segmento MH appartiene alla corda AH. Risulta:

MH = AH - AM = r*radice (2) - AM

Il segmento AM è pari al raggio della semicirconferenza più piccola per radice (2). Determino il raggio della semicirconferenza più piccola. Il diametro AP della semicirconferenza più piccola è:

AP = AB - PB = 2r - PB

Il segmento PB, utilizzando il teorema dei seni risulta:

PB = (r*radice(2)*sin(45+x)) /sin x

Quindi il raggio della semicirconferenza più piccola è 

AP/2 = r - PB/2

Poiché AM= (AP/2)*radice(2) si ottiene:

AM= r*radice(2) - (r*sin(45+x))/sin(x)

Essendo MH = AH - AM si ricava 

MH= r * ((sin(45+x)/sin x)

MH² = r²* (sin² (45+x))/sin²x

Sviluppando i calcoli:

MH² = r²* (1+sin(2x)) /(2sin²x)

Se il vincolo misterioso fosse .... 

MH² = r²* ((2+radice (3)) /3)

Otteniamo:

(1+sin(2x))/(2*sin²x) = (2+radice (3))/3

Da cui si ricava:

x=60 gradi 

@luigi2

Ciao di nuovo.

Ho posto, per semplificare : r = 1

Poi ho risolto il problema dal punto di vista geometrico analitico.

Ho fatto riferimento a due circonferenze iniziali.

La prima: (x - 1)^2 + y^2 = 1 con centro [1, 0] 

La seconda : (x - α)^2 + y^2 = α^2 con centro [α, 0] e raggio 0 < α < 1

Ho quindi considerato le semicirconferenze positive risolvendo ciascuna delle due rispetto ad y.

Ho ottenuto: 

y = √(2·x - x^2) per la prima

y = √(2·α·x - x^2) per la seconda

A(0, 0] e B(2, 0) sono gli estremi del diametro della prima

A(0,0) e C(2·α, 0) sono gli estremi del diametro della seconda

Arrivati a questo punto riconosco i punti:

H(1,1) ed M(α, α)

Quindi:

(α - 1)^2 + (α - 1)^2 = 2 - √3/3 (con Pitagora)

2·α^2 - 4·α + 2 = 2 - √3/3

risolvo l'equazione di 2° grado ed ottengo:

α = 1 - √(36 - 6·√3)/6 ∨ α = √(36 - 6·√3)/6 + 1

la seconda soluzione la scarto perché maggiore di 1

(α = 0.1565992261 ∨ α = 1.843400773)

Grafico finale:

Spero non ti disturbi il fatto che io "l angolo HPB = x" lo chiami θ.
Il fatto è che il nome x mi serve per il riferimento cartesiano Oxy nel quale localizzo i punti nominati nel testo (con 0 < p < 2*r)
* A(0, 0), O(r, 0), P(p, 0), B(2*r, 0), H(r, r), M(p/2, p/2)
si ha
* |HM|^2 = (2*r - p)^2/2
* HP ≡ y = (r/(r - p))*(x - p)
* θ = arctg(r/(r - p))
qui mi fermo, stante la polisemia della stringa "2-SQRT3r^2/3".
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LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
E' UN VERO PECCATO CHE AL LICEO NON S'INSEGNINO PIU'
* L'USO CORRETTO DELLE PARENTESI (d'ogni tipo: [], {}^2, <>, ||)
* LA CORRETTA SINTASSI DELLE ESPRESSIONI
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la stringa "2-SQRT3r^2/3" si può leggere come
a) "2 - (SQRT3r^2/3)"
b) "(2 - SQRT3r^2)/3"
la stringa "SQRT3r^2" si può leggere come
1) "sqrt(3*r^2)"
2) "sqrt((3*r)^2)"
3) "(sqrt(3*r))^2"
4) "(sqrt(3))*r^2"
la stringa "SQRT3r^2/3" si può leggere come
UFFA! LE PARENTESI DEVI METTERLE TU: quan'hai deciso ottieni un'espressione in r che dà il valore
* v = la corretta interpretazione di "2-SQRT3r^2/3"
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con quell'espressione risolvi il sistema in p
* (|HM|^2 = (2*r - p)^2/2 = v) & (0 < p < 2*r) ≡
≡ (p = 2*r - √(2*v)) & (0 < v < 2*r^2)
e sostituisci in θ
* θ = arctg(r/(r - p)) =
= arctg(r/(r - (2*r - √(2*v)))) =
= arctg(r/(√(2*v) - r))