Trigonometria

Utilizzando il Teorema di Carnot (detto anche del coseno) si ha:

Da cui

Spero sia chiaro

PS come mai proprio 19 “a” finali nel tuo nome?

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Lato $\small AB = a;$

lato $\small AC= a-6;$

lato $\small BC= 3\sqrt7\,cm;$

angolo $\small \beta = 60°;$

quindi conoscendo il lato opposto all'angolo (BC) applica il teorema del coseno:

$\small \sqrt{a^2+(a-6)^2-2a(a-6)×cos(\beta)} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{a^2+a^2-12a+6^2-(2a^2-12a)×cos(60°)} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2a^2-12a+36-(2a^2-12a)×\dfrac{1}{2}} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2a^2-12a+36-(a^2-6a)} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2a^2-12a+36-a^2+6a} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{a^2-6a+36} = 3\sqrt7$

$\small a^2-6a+36 = \left(3\sqrt7\right)^2$

$\small a^2-6a+36 =9×7$

$\small a^2-6a+36 = 63$

$\small a^2-6a+36 -63= 0$

$\small a^2-6a-27= 0$ → $\small a=1; b= -6; c= -27;$

$\small \Delta= b^2-4ac = (-6)^2-(4×1×-27) = 36-(-108)= 36+108 =144$

$\small a_{1,2}= \dfrac{-(-6)\pm\sqrt{144}}{2×1} = \dfrac{6\pm12}{2} $

$\small a_1= \dfrac{6-12}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3;$ che escludiamo perché negativo;

$\small a_2= \dfrac{6+12}{2} = \dfrac{18}{2} = 9;$

per cui i due lati incogniti sono:

lato $\small AB = a = 9\,cm;$

lato $\small AC= a-6 = 9-6 = 3\,cm;$

perimetro $\small 2p= 9+3+3\sqrt7 = 12+3\sqrt7\,cm\quad(\approx{19,937}\,cm);$

per l'area serve la formula di Erone:

semiperimetro $\small p= \dfrac{12+3\sqrt7}{2}\approx{9,9686}\,cm;$

area $\small A= \sqrt{9,9686(9,9686-9)(9,686-3)(9,9686-3\sqrt7)} \approx{11,69}\,cm^2.$