Trigonometria

La mia soluzione è molto più "geometrica" perché a scuola non ho ancora studiato la trigonometria, quindi consiglio di guardare il diagramma per capire meglio:

Dalla figura si vede che il triangolo $ABP$ è retto per costruzione, quindi si può affermare che $\overline{AP}^2=\overline{AB}^2+\overline{BP}^2$ e dato che il nostro $ABCD$ è un quadrato possiamo riscrivere tutto come $\overline{AP}^2= (\overline{BP} + \overline{BC})^2+\overline{BP}^2=2 \overline{BP}^2+2 \overline{BP} \cdot \overline{PC} + \overline{PC}^2$. 

La richiesta del problema equivale a risolvere l'equazione:

$(\frac{\overline{PC}}{2})^2 \pi + (\frac{\overline{BP}}{2})^2 \pi = (\frac{\overline{AP}}{2})^2 \frac{\pi}{2}$

$ 2 \overline{PC}^2 + 2 \overline{BP}^2 = \overline{AP}^2$

Ora, sostituendo:

$ 2 \overline{PC}^2 + 2 \overline{BP}^2 = 2 \overline{BP}^2+2 \overline{BP} \cdot \overline{PC} + \overline{PC}^2$

$\overline{PC}^2 - 2 \overline{BP} \cdot \overline{PC} = 0$

$ \overline{PC}(\overline{PC}-2 \overline{PB})= 0$

L'equazione è verificata per $\overline{PC}=0 \lor \overline{PC}=2 \overline{PB}$

(Nota che quindi i casi verificati sono 4, perché $\overline{PC}$ e $\overline{PB}$ sono intercambiabili).

A questo punto possiamo definire la posizione di $P$ usando l'ampiezza dell'angolo $\theta =\widehat{BAP}$, calcoliamo prima $\overline{BP}$: $\overline{BP} +2 \overline{BP} = 2 \implies \overline{BP} = \frac{2}{3}$, e finalmente:

$\theta = \arctan{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \arctan{\frac{1}{3}} \approxeq 18.435 ^\circ \approxeq 0.2618 rad \lor \theta = \arctan{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}= {\arctan{\frac{3}{4}}}  \approxeq 36.87 ^\circ \approxeq 0.644 rad$

Oppure $\theta =\arctan{\frac{2}{2}}=\arctan{1}=\frac{\pi}{4} rad = 45 ^\circ \lor \theta = \arctan{\frac{0}{2}} = \arctan{0} = 0 rad = 0 ^\circ$.

Spero di essere stato d'aiuto!!