Sono date due semirette Oa e Ob, con l'origine in comune, formanti un angolo di ampiezza 60°. Determina come deve essere posizionata una terza semiretta, ancora di origine O e interna a tale angolo, affinché, preso sa di essa un punto P la cui distanza da O sia m e dette A e B le sue proiezioni rispettivamente su Oa e Ob, I'area del triangolo OAP, sia la metà di quella del triangolo OBР.
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Livello 1
A(OPB)=1/2·m·COS(pi/3 - x)·m·SIN(pi/3 - x)=
=m^2·SIN(x + pi/6)·COS(x + pi/6)/2
A(OPA)=1/2·m·COS(x)·m·SIN(x)=
=m^2·SIN(x)·COS(x)/2
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Quindi si vuole che sia:
SIN(x + pi/6)·COS(x + pi/6) = 2·SIN(x)·COS(x)
Vediamo i fattori a primo membro:
SIN(x + pi/6) = SIN(x)·COS(pi/6) + SIN(pi/6)·COS(x)=
=COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2
COS(x + pi/6) = COS(x)·COS(pi/6) - SIN(x)·SIN(pi/6)=
=√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2
quindi sviluppiamo:
(COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2)·(√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2)=
=√3·COS(x)^2/2 + SIN(x)·COS(x)/2 - √3/4
Bisogna quindi risolvere:
√3·COS(x)^2/2 + SIN(x)·COS(x)/2 - √3/4 = 2·SIN(x)·COS(x)
COS(x) = Χ
SIN(x) = Υ
ci riportiamo al sistema:
{√3·Χ^2/2 + Υ·Χ/2 - 2·Υ·Χ = √3/4
{Χ^2 + Υ^2 = 1
La cui unica soluzione compatibile è:
Υ = √6/4 - √2/4 ∧ Χ = √6/4 + √2/4
{SIN(x) = √6/4 - √2/4
{COS(x) = √6/4 + √2/4
soluzione problema: [x = pi/12] in radianti
In gradi:
pi/(pi/12) = 180/x----> x = 15°
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Genius II
