[Risolto] Trigonometria

Nella speranza che i calcoli risulteranno più semplici, riporto l'espressione in termini di solo coseni.

Dall'uguaglianza

$sin(x-\frac{\pi}{3}) = - cos(x+\frac{\pi}{6}) $

$sin^2(x-\frac{\pi}{3}) = cos^2(x+\frac{\pi}{6}) $

per cui, l'espressione da calcolare diventa

$ cos^2(x+\frac{\pi}{6}) + cos^2(x-\frac{\pi}{6})$

$[\frac {√3}{2} cos(x) - \frac{1}{2} sin(x)]^2 + [\frac {√3}{2} cos(x) + \frac{1}{2} sin(x)]^2 $

$ \frac {3}{4} cos^2(x) + \frac{1}{4} sin^2(x) - 2 \frac{√3}{4}sin(x)cos(x) + \frac {3}{4} cos^2(x) + \frac{1}{4} sin^2(x) + 2 \frac{√3}{4}sin(x)cos(x) $

$ \frac {3}{2} cos^2(x) + \frac{1}{2} sin^2(x) $

$ cos^2(x) + \frac{1}{2}$

SIN(x - pi/3)^2 + COS(pi/6 - x)^2

SIN(x - pi/3) = SIN(x)·COS(pi/3) - SIN(pi/3)·COS(x)

SIN(x - pi/3) = SIN(x)/2 - √3·COS(x)/2

COS(pi/6 - x) = COS(pi/6)·COS(x) + SIN(pi/6)·SIN(x)

COS(pi/6 - x) = √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

Tornando all'espressione di partenza:

(SIN(x)/2 - √3·COS(x)/2)^2 + (√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)^2=*

Ponendo:

SIN(x) = Υ

COS(x) = Χ

Υ^2 + Χ^2 = 1

abbiamo

=*=(Υ/2 - √3·Χ/2)^2 + (√3·Χ/2 + Υ/2)^2=

=(Υ^2/4 - √3·Υ·Χ/2 + 3·Χ^2/4) + (Υ^2/4 + √3·Υ·Χ/2 + 3·Χ^2/4)=

=Υ^2/2 + 3·Χ^2/2=

=(Υ^2 + 3·Χ^2)/2 =((Υ^2 + Χ^2) + 2·Χ^2)/2

=(1 + 2·Χ^2)/2 = (1 + 2·COS(x)^2)/2