[Risolto] Trigonometria

1 - COS(x) = (1 - COS(x)^2)/(1 + COS(x)^2)

pongo:

COS(x) = Χ

SIN(x) = Υ

Quindi risolvo il sistema:

{1 - Χ = Υ^2/(1 + Χ^2)

{Χ^2 + Υ^2 = 1

ed ottengo:

[Υ = 0 ∧ Χ = 1, Υ = 1 ∧ Χ = 0, Υ = -1 ∧ Χ = 0]

Quindi:

{SIN(x) = 0

{COS(x) = 1

per cui ottengo: [x = 0]

{SIN(x) = 1

{COS(x) = 0

per cui : [x = pi/2]

{SIN(x) = -1

{COS(x) = 0

per cui: [x = - pi/2, x = 3·pi/2]

generalizzando:

x = - pi/2 + k·pi ∨ x = 2·k·pi

\[1 - \cos{(x) = \frac{1 - \cos^2{(x)}}{1 + \cos^2{(x)}}} \implies 1 + \cos^2{(x)} = 1 + \cos{(x)} \implies\]

\[\cos^2{(x)} = \cos{(x)} \iff \cos{(x)}(\cos{(x)} - 1) = 0 \iff\]

\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi \lor x = 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\,.\]

1 - (cosx)^2 = (1 + cosx) * ( 1 - cos(x), a secondo membro;

1 - cosx = [(1 + cosx) * ( 1 - cos(x)] / [1 + (cosx)^2];

Portiamo a sinistra [1 + (cosx)^2]  e a destra 1 - cosx,

[1 + (cosx)^2] = [(1 + cosx) * ( 1 - cos(x)] / (1 - cosx);

semplifichiamo 1 - cosx a destra;

[1 + (cosx)^2] = [(1 + cosx) ]

1 - 1 + (cosx)^2 = cosx;

(cosx)^2 = cosx;

(cosx)^2 - cosx = 0;

cosx * cosx - cosx = 0;

raccogliamo cosx:

cosx * (cosx - 1) = 0;

prima soluzione:

cos x = 0; x = π/2 + k π;

seconda soluzione:

cosx = 1; x = 0; x = 2 π...;   x = 2 k π; (con k = 0; 1; 2; 3;.... k  intero).

Ciao @serena_trevisan