Considera una circonferenza di raggio r e una corda AB=r. Sul maggiore dei due archi prendi un punto P e poni PBA=x. Determina BP in funzione di x e trova per quali valori di x BP=r*2^1/2
Considera una circonferenza di raggio r e una corda AB=r. Sul maggiore dei due archi prendi un punto P e poni PBA=x. Determina BP in funzione di x e trova per quali valori di x BP=r*2^1/2
1
punto
Livello 0
θ = pi - 2·(x - pi/3)
θ = (5·pi - 6·x)/3
θ/2 = 5·pi/6 - x
Teorema della corda:
ΒΡ = 2·r·SIN(5·pi/6 - x)
ΒΡ = r·√2
SIN(5·pi/6 - x) = SIN(5/6·pi)·COS(x) - SIN(x)·COS(5/6·pi)
SIN(5·pi/6 - x) = COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2
r·√2 = 2·r·(COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2)
r·√2 = r·COS(x) + √3·r·SIN(x)
COS(x) + √3·SIN(x) = √2
Pongo:
COS(x) = Χ
SIN(x) = Υ
Risolvo:
{Χ + √3·Υ = √2
{Χ^2 + Υ^2 = 1
ed ottengo:
Υ = √6/4 + √2/4 ∧ Χ = √2/4 - √6/4
v
Υ = √6/4 - √2/4 ∧ Χ = √6/4 + √2/4
Quindi due soluzioni:
{SIN(x) = √6/4 + √2/4
{COS(x) = √2/4 - √6/4
x = 7·pi/12 = 105°
{SIN(x) = √6/4 - √2/4
{COS(x) = √6/4 + √2/4
x = pi/12 =15
In figura r=4----> 4·√2 = 5.656854249 per x=15°
90142
punti
Genius II