Trigonometria

Sui simboli da usare ho le mie idiosincrasie, te ne cambio un paio e ne aggiungo alcuni.
Nella nomenclatura standard del triangolo di vertici {A, B, C} i lati opposti sono {a, b, c} e gli angoli interni {α, β, γ}.
In questo caso, il triangolo ABC è isoscele sulla base c = |AB|, con i lati obliqui a = b = 2*k.
Come nel testo, siano: M il punto medio di AC; H la sua proiezione su CB; K quella su AB.
Nomino: N il punto medio di AB; u = |MH|; v = |CH|; h = |CN|; p = |AH|; q = |MK|.
Si chiede di ottenere p^2 + q^2 = (2*k)^2 variando γ.
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Cosa si può ottenere "applicando vari teoremi" a un disegno fatto bene.
Carnot: c = |AB| = √(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(γ)) = 4*k*sin(γ/2)
Pitagora: h = |CN| = √((2*k)^2 - ((2*sin(γ/2))*k)^2) = (2*cos(γ/2))*k → q = k*cos(γ/2)
Pitagora & C.: (u^2 + v^2 = k^2) & (v = k*cos(γ)) ≡ u = k*sin(γ)
Carnot: p = |AH| = √(k^2 + u^2 - 2*k*u*cos(π/2 - γ)) = k*cos(γ)
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Avendo espresso (p, q) in funzione di γ si può ora scrivere l'equazione risolutiva
* p^2 + q^2 = (2*k)^2 ≡
≡ (k*cos(γ))^2 + (k*cos(γ/2))^2 = (2*k)^2 ≡
≡ cos^2(γ) + cos^2(γ/2) = 4
che, ahimè, non risolve una cippa!
Avrò fatto casino io nei conti, o il testo ha cose che non vanno?
Per capire provo prima una verifica col risultato atteso poi, se serve, cambio metodo.
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* y = π/3: cos^2(γ) + cos^2(γ/2) = 1
* y = arccos(- 1/3): cos^2(γ) + cos^2(γ/2) = 4/9
non mi fanno pensare a nulla di serio.
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Nel riferimento Oxy ortogonale monometrico levogiro localizzo
* A(- 1, 0), B(1, 0), C(0, h) con h > 0
vertici del triangolo con lati
* AB: lungo c = |AB| = 2, sulla retta y = 0
* BC: lungo a = |BC| = √(h^2 + 1), sulla retta y = h*(1 - x)
* CA: lungo b = |CA| = √(h^2 + 1), sulla retta y = h*(1 + x)
e inoltre
* M = (A + C)/2 = ((- 1, 0) + (0, h))/2 = (- 1/2, h/2) → q = h/2
* K = (- 1/2, 0)
* γ = 2*arctg((c/2)/h) = 2*arctg(1/h)
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retta MH ≡ y = (h^2 + 1)/(2*h) + x/h
* MH & BC ≡ (y = (h^2 + 1)/(2*h) + x/h) & (y = h*(1 - x)) & (h > 0) ≡
≡ H((h^2 - 1)/(2*(h^2 + 1)), h*(h^2 + 3)/(2*(h^2 + 1)))
segmento MH: lungo u = |MH| = √(h^2/(h^2 + 1)), sulla retta MH
segmento AH: lungo p = |AH| = √((h^4 + 14*h^2 + 1)/(h^2 + 1))/2, su una retta irrilevante
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Vincolo
* "p^2 + q^2 = (2*k)^2" ≡
≡ (√((h^4 + 14*h^2 + 1)/(h^2 + 1))/2)^2 + (h/2)^2 = (√(h^2 + 1))^2 ≡
≡ ((h^4 + 14*h^2 + 1)/(h^2 + 1))/4 + h^2/4 - (h^2 + 1) = 0 ≡
≡ - (2*h^2 - 1)*(h^2 - 3)/(4*(h^2 + 1)) = 0
Sistema risolutivo
* ((2*h^2 - 1)*(h^2 - 3) = 0) & (h > 0) ≡
≡ (h = 1/√2) oppure (h = √3) ≡
≡ (γ = 2*arctg(1/(1/√2))) oppure (γ = 2*arctg(1/√3)) ≡
≡ (γ = 2*arctg(√2)) oppure (γ = π/3) ≡
≡ (γ = arccos(- 1/3)) oppure (γ = π/3)
Ahimè, lo dico sempre che me la cavo meglio con l'Analitica che non con la Trigonometria!