Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

0 < x < pi/3

ΑD = DΕ per costruzione

Triangolo ADE:

Abbiamo l'angolo in D = pi/3 in quanto sotteso all'arco AC (sotteso allo stesso arco è  l'angolo in B del triangolo equilatero ABC)

Siccome il triangolo è isoscele per costruzione, deve essere anche equilatero in quanto ognuno dei due angoli alla base AE sono congruenti fra loro, quindi pari ognuno a pi/3.

Quindi: AD=AE=DE

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Triangolo AEC:

ΑΕ = ΑD = 2·r·SIN(x)

ΑC = 2·r·SIN(pi/3)

CΕ = CD - ΕD

CD = 2·r·SIN(2·pi/3 - x) (osserva attentamente figura allegata)

DΕ = 2·r·SIN(x)

Sommando abbiamo il perimetro:

2·r·SIN(x) + 2·r·SIN(pi/3) + 2·r·SIN(2·pi/3 - x) - 2·r·SIN(x)=

=2·r·SIN(pi/3) + 2·r·SIN(2·pi/3 - x)=

=√3·r + 2·r·SIN(2·pi/3 - x)=

=√3·r + 2·r·SIN(x + pi/3)

SIN(x + pi/3) = SIN(x)·COS(pi/3) + SIN(pi/3)·COS(x)

SIN(x + pi/3) = SIN(x)/2 + √3·COS(x)/2

perimetro :

√3·r + 2·r·(SIN(x)/2 + √3·COS(x)/2)

r·(√3·COS(x) + SIN(x) + √3)

Quindi:

r·(√3·COS(x) + SIN(x) + √3) = (2 + √3)·r

√3·COS(x) + SIN(x) + √3 = 2 + √3

√3·COS(x) + SIN(x) = 2

{COS(x) = Χ

{SIN(x) = Υ

Risolvo:

{Υ^2 + Χ^2 = 1

{√3·Χ + Υ = 2

ottengo:

[Υ = 1/2 ∧ Χ = √3/2]

{SIN(x) = 1/2

{COS(x) = √3/2

[x = pi/6]