Triangolo

Tutti e soli i vertici C dell'angolo retto dei triangoli rettangoli di ipotenusa AB, dove A(– 4, 0) e B(2, 0), sono sulla circonferenza di diametro il segmento AB, lungo sei e di punto medio M(– 1, 0)
* Γ ≡ (x + 1)^2 + y^2 = 9
Se un triangolo di base b = 6 e altezza h deve avere area S = b*h/2 = 6*h/2 = 3*h = 3, deve ovviamente avere h = 1.
Quindi i punti richiesti sono le quattro intersezioni di Γ con le rette y = ± h = ± 1.
* A(- 1 - 2*√2, - 1), B(- 1 + 2*√2, - 1), C(- 1 + 2*√2, 1), D(- 1 - 2*√2, 1)
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2%3D9-%28x--1%29%5E2%2Cy%5E2%3D1%5Dx%3D-5to3

Determini la circonferenza . Scrivi due sistemi :

{circonferenza

{y=1

poi

{circonferenza

{y=-1

ed ottieni i 4 punti che soddisfano il problema posto.

Determina le coordinate dei punti che formano con A(–4, 0) e B(2, 0) un triangolo rettangolo di ipotenusa AB, avente area 3.

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Ipotenusa $i= |-4|+2 = 6;$

altezza relativa all'ipotenusa $h= \dfrac{2A}{i} = \dfrac{2×3}{6} = 1;$

raggio del cerchio circoscritto = mediana $r= \dfrac{6}{2} = 3;$

il vertice C del triangolo, senza altre specifiche, si può trovare in 4 posizioni, quindi coordinate di C:

1° caso $C_x= \sqrt{3^2-1^2}-1=-1+2\sqrt2 \approx{1,828},$ $C_y= 1;$

2° caso $C_x= -(\sqrt{3^2-1^2}+1)=-1-2\sqrt2 \approx{-3,828},$ $C_y=1;$

3° caso $C_x= \sqrt{3^2-1^2}-1 =-1+2\sqrt2\approx{1,828},$ $C_y= -1;$

4° caso $C_x= -(\sqrt{3^2-1^2}+1) =-1-2\sqrt2\approx{-3,828},$ $C_y=-1.$

se la base è 6 e l'area 3, l'altezza h non può che valere ± 1, pertanto l'ordinata di C non può che valere ± 1, mentre l'ascissa è da calcolare applicando Euclide :

x*(6-x) = √h....con h =1

 x^2-6x+1 = 0

x = (6±√6^2-4)/2 = (6±4√2)/2 = 3+2√2 ; 3-2√2 

ascisse di C :

-4+3+2√2 = -1+2√2 (1,8284)

-4+3-2√2 = -1-2√2 (-3,8284)