[Risolto] TRASFORMATA DI FOURIER

Non é chiaro se é f(x) = e^(-|x|) x (x + 3) oppure e^(-|x|) u(x+3)

con u gradino di Heaviside.

Se la funzione trasformanda é e^(-|t|) * t(t+3) conviene procedere nel modo seguente.

La trasformata di e^(-|t|) é   2/(1 + 4 pi^2 f^2) e si ricava usando la definizione,

le proprietà additive degli integrali ed un cambio di variabile nel primo addendo.

e si usa la proprietà ( due volte per il primo termine ) F [t x(t) ] = j/(2pi) d/df F[x(t)]

Quindi verrà   - 1/(4 pi^2) G''(f) + 3 j/(2 pi) G'(f)

con G(f) = 2/(1 + 4 pi^2 f^2).

Lascio a te tutte queste derivate.

Se invece era e^(-|t|) u(t + 3) allora devi svolgere

S_[-3,0] e^t e^(-jwt) dt + S_[0,+oo] e^(-t) e^(-jwt) dt

Il secondo addendo é 1/(1 + jw) mentre il primo si calcola come

e^(zt)/z    con z = 1 - jw e quindi é

[ e^(1 - jw) t]_[-3,0]/(1 - jw) = (1 - e^(-3(1+jw))/(1 - jw).